Основы математического анализа, часть II

Точка image223.gifназывается точкой минимума функции image229.gif, если
существует окрестность точки image226.gifтакая, что для всех точек этой окрестности, отличных от Р0, выполняется image225.gif
для всех точек P из области определения функции выполняется image230.gif
существует окрестность точки image226.gifтакая, что для всех точек P этой окрестности выполняется image231.gif
для всех точек P из области определения функции выполняется image228.gif
Градиент функции image202.gifравен
image203.gif
image196.gif
image197.gif
image195.gif
Область определения функции image100.gifесть множество
image102.gif
{(x, y): x-yimage101.gif
{(x, y) : x > y}
{(x, y) : x < y}
Стационарная точка для функции image191.gifимеет координаты
(5, 5)
(0, 5)
(0, 0)
(5, 0)
Частное решение дифференциального уравнения image072.gif, удовлетворяющее начальным условиям image081.gif, равно
image085.gif
image082.gif
image083.gif
image084.gif
Частное решение дифференциального уравнения image275.gifравно
3
7x + 1
image276.gif
-x
Точка image223.gifназывается стационарной для дифференцируемой функции f(image232.gif), если
частные производные функции f(P) в точке image226.gifне существуют
частные производные функции f(P) в точке image226.gifне равны нулю
в этой точке выполняются необходимые условия наличия экстремума
частные производные функции f(P) в точке image226.gifравны 1
Поверхность уровня функции image247.gifв точке image248.gifимеет уравнение
image251.gif
image250.gif
image249.gif
2x + 2y + 2z = 6
Корни характеристического уравнение для image256.gif
image263.gif
image262.gif
image016.gif
image261.gif
Полным дифференциалом функции z = f(x, y) в точке image127.gifназывается выражение
image128.gif
image129.gif
image130.gif
image131.gif+ image132.gif
Точка image223.gifназывается точкой максимума функции f(x, y), если
для всех точек P из области определения функции выполняется image224.gif
существует окрестность точки image226.gifтакая, что для всех точек P этой окрестности выполняется image227.gif
для всех точек P из области определения функции выполняется image225.gif
существует окрестность точки image226.gifтакая, что для всех точек этой окрестности, отличных от Р0, выполняется image228.gif
Частное решение дифференциального уравнения image268.gifищется в виде
AX+B
A
image269.gif
image007.gif
Частное решение неоднородного разностного уравнения image050.gifравно
image051.gif
5
2
0
Линия уровня функции image252.gifв точке image199.gif(1, 0) имеет уравнение
image254.gif
image253.gif
2x - 2y = 1
image255.gif
Полный дифференциал функции image182.gifв точке image183.gifравен
4(dx +dy)
4dx + 2dy
dx + dy
2dx + 4dy
Характеристическое уравнение для image256.gifравно
image259.gif
image258.gif
image257.gif
image260.gif
Частная производная image160.gifфункции image156.gifравна
x
0
y
1
Область определения функции z = ln (image095.gif) есть множество
image099.gif
image097.gif}
image098.gif}
image096.gif}
Решение задачи Коши image052.gifimage056.gifравно
image057.gif
2
image058.gif
image059.gif
Стационарная точка для функции image189.gifимеет координаты
(0, 1)
(1, 0)
(-1, -1)
(0, 0)
Общее решение разностного уравнения image038.gifс постоянными коэффициентами в случае равных корней image039.gifimage040.gifхарактеристического уравнения имеет вид
image042.gif
image043.gif
image041.gif
image044.gif
Полный дифференциал функции image180.gifв точке image181.gifравен
dx - dy
dx + dy
dx
dy
Частное решение дифференциального уравнения image289.gifищется в виде
image290.gif
image292.gif
image293.gif
image291.gif
Следующее условие достаточно для наличия экстремума функции z = f(x, y) в стационарной точке image119.gif
image123.gif
image122.gif
image121.gif
image120.gif
Задача Коши image006.gifимеет решение
2x
2image007.gif
image008.gif
image007.gif
Частная производная image143.gifфункции image144.gifравна
image146.gif
image145.gif
image147.gif.image148.gif
1
Частная производная image157.gifфункции image158.gifравна
image159.gif
1
0
xy
Частное решение однородного разностного уравнения image028.gif, удовлетворяющее начальному условию image029.gif, равно
image031.gif
image026.gif
image025.gif
image030.gif
Частное решение неоднородного разностного уравнения image033.gifравно
image035.gif
image036.gif
image034.gif
image037.gif
Градиент функции image198.gifв точке image199.gif(0, 0) равен
image200.gif
image201.gif
image195.gif
image196.gif
Область определения функции image103.gifесть множество
image107.gif
image104.gif
image105.gif
image106.gif
Частная производная image160.gifфункции image161.gifравна
2x
image162.gif
0
1
Стационарная точка для функции image182.gifимеет координаты
(1, 0)
(0, 1)
(-1, -1)
(0, 0)
Корни характеристического уравнения для image014.gifравны
image018.gif
image015.gif
image016.gif
image017.gif
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения image072.gifимеет корни
1, -1
i, - i
-1, -1
1, 1
Стационарная точка для функции z = xy имеет координаты
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(0, 1)
Полный дифференциал функции image184.gifв точке image185.gifравен
3dx - 3dy
3(dx + dy)
dx + dy
-3dx - 3dy
Частная производная image153.gifфункции image154.gifравна
1
0
2
-1
Стационарная точка для функции image192.gifимеет координаты
(3, 3)
(-3, -3)
(0, 0)
(1, 1)
Частное решение дифференциального уравнения image270.gifищется в виде
image273.gif
image274.gif
image271.gif
image272.gif
Поверхности уровня для функции u = z2xy имеют вид
z2xy = const
z2xy > 1
z > 0, xy < 1
z2xy < 0
Частное решение дифференциального уравнения image280.gifищется в виде
image283.gif
image282.gif
image281.gif
image284.gif
Задача Коши image319.gifимеет решение
image007.gif
image008.gif
image317.gif
2x
Частное решение дифференциального уравнения image294.gifравно
image297.gif
image295.gif
image271.gif
image296.gif
Характеристическое уравнение для image009.gifимеет вид
image013.gif
image011.gif
image010.gif
image012.gif
Частное решение неоднородного разностного уравнения image032.gifравно
3
0
4
2
Частное решение дифференциального уравнения image064.gifравно
10x -4
10x
3
2x-3
Градиент функции image217.gifв точке image199.gif(1, 0) равен
image219.gif
image218.gif
image220.gif
image221.gif
Общее решение дифференциального уравнения image256.gifимеет вид
image267.gif
image265.gif
image266.gif
image264.gif
Общее решение дифференциального уравнения image060.gifимеет вид
image061.gif
image062.gif
image063.gif