Линейная алгебра (курс 2)

Плоскость Ax +By + 3z – 5 = 0 перпендикулярна прямой x = 3 + 2t, y = 5 – 3t, z = –2 – 2t при
A = –3, image076.gif
A = –2, image077.gif
2A – 3B – 6 = 0
A = 3, B = 9
Из плоскостей 1) 2x + 6y – 3z + 14 = 0; 2) 3x + 2y – 6z + 21 = 0; 3) 6x + 3y – 2z + 7 = 0 на одинаковом расстоянии от точки M0(0,0,–1) находятся плоскости
1, 2, 3
только 1, 2
только 2, 3
ни одна
Установите соответствие между поверхностью второго порядка и ее уравнением
Двуполостный гиперболоид
image239.jpg
Эллипсоид
image237.jpg
Однополостный гиперболоид
image238.jpg
Даны точки M1(1,–1,3), M2(2,0,4) и плоскость x + y + z – 6 = 0
точка M1 является проекцией точки M2 на плоскость
расстояние от точки M2 до плоскости равно 2
прямая M1M2 параллельна плоскости
точка M2 является проекцией точки M1 на плоскость
Уравнение плоскости, проходящей через точку image016.gifперпендикулярно прямой image017.gif, имеет вид
x – 2y + 1 = 0
2x + y = 0
2x + y – 1 = 0
2x + y – 2 = 0
В сечении поверхности x2 – y2 + z2 = 0 плоскостью, параллельной плоскости YOZ, получается
гипербола
окружность
точка
эллипс
Дата плоскость 3x + y – 2z + 5 = 0. Точка P(−1,0,1)
лежит на плоскости
расстояние от точки P до плоскости равно image139.gif
расстояние от точки Р до плоскости равно 5
расстояние от точки P до плоскости равно нулю
Даны точки М1(–2,2,0), М2(0,0,–2) и плоскость x + 2y –2z – 3 = 0
плоскость проходит через середину отрезка М1М2
точка М1 отстоит от плоскости вдвое дальше, чем М2
обе точки лежат на плоскости
точка М1 отстоит от плоскости вдвое ближе, чем М2
Уравнение 2x2 + z2 – 4z – y2 = 0 определяет
эллипсоид с полуосями image099.gif, b = 2, c = 2 и центом в точке (0,0,2)
однополостный гиперболоид с осью симметрии, параллельной оси OY
однополостный гиперболоид с центом симметрии в точке (0,0,0) и осью симметрии OY
однополостный гиперболоид, осью симметрии которого служит ось OY
Поверхность x2 + z2 = x пересекается в единственной точке координатной плоскостью
z = 0
YOZ
XOZ
XOY
Плоскости 2x – y + 2z – 6 = 0 и 7x + λy – 3λz + 10 = 0 перпендикулярны при λ равном ____ (число)
Поверхность image084.gifпересекается плоскостью y = 3 по
паре пересекающихся прямых
гиперболе
кривой image160.gif
в точке (2,3,1)
Даны точки M1(1,–1,0), M2(–1,–1,–1) и плоскость x + 3y – 2z + 2 = 0
точка M2 является проекцией точки M1 на плоскость
вектор image100.gifпараллелен плоскости
точка M1 не лежит на плоскости
вектор image101.gifперпендикулярен плоскости
Уравнение плоскости, равноудаленной от двух параллельных плоскостей x + y – z +3 = 0 и 2x+ 2y – 2z + 4 = 0, имеет вид
image057.gif
2x + 2y -2z – 1 = 0
image056.gif
2x + 2y – 2z + 1 = 0
Дана плоскость 2x + y – 2z + 9 = 0 и точка M(–2,–1,2)
точка М является проекцией начала координат на плоскость
точка М не лежит на плоскости
точка М отстоит от плоскости на расстоянии 1
точка М и начало координат лежат на плоскости
Даны плоскость 2x + 2y – z + 6 = 0 и точки М1(1,1,1) и М2(4,4,4). Пусть d1 – расстояние от точки М1 до плоскости, d2 – расстояние между точками М1, М2, тогда
d1 > d2
d1 = 4d2
image118.gif
d2 = d1
Даны точки М1(–2,2,0), М2(0,0,–2) и плоскость x + 2y – 2z – 3 = 0
плоскость делит расстояние между точками пополам
точка М1 отстоит от плоскости вдвое ближе, чем М2
точка М1 отстоит от плоскости вдвое дальше, чем М2
обе точки удалены от плоскости на расстоянии 3 ед.
В сечении поверхности x2 – y2 + z2 = 0 координатной плоскостью XOZ получим
гиперболу
окружность
пару прямых
точку
Уравнение плоскости, равноудаленной от двух параллельных плоскостей x + 2y – 2z – 4 = 0 и x + 2y -2z + 6 = 0, имеет вид
x + 2y – 2z – 5 = 0
x + 2y – 2z + 1 = 0
x + 2y – 2z – 1 = 0
x + 2y – 2z + 5 = 0
Уравнение x2 + z2 = 2z в пространстве определяет
цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность image168.gif, образующие параллельны оси OY
параболоид вращения
цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OY
однополостный параболоид
Вектор image191.gifявляется ____ (каким?) вектором для плоскости Ax + By + Cz + D = 0 (слово)
Дана прямая image039.gif. Укажите верные соответствия между числом точек пересечения прямой с данным плоскостями
x – y – z – 1 = 0
нет точек пересечения
2x – y + 3z – 10 = 0
единственная точка
x – y – z + 3 = 0
бесконечно много точек
Прямая image058.gifпересекает плоскость XOZ в точке
М (2, –1, 0)
М(4, 0, –1)
Мimage060.gif
М(0, 2, –1)
Плоскость z – 1 = 0 пересекает поверхность image085.gifпо _____ (слово) с полуосями 4 и 3
Уравнение плоскости, проходящей через точки image146.gif, image147.gifи image148.gif, имеет вид
3x + y + 2z – 2 = 0
image150.gif
x + y + 2z + 2 = 0
image149.gif
Прямая image062.gifпараллельна плоскости λx + y – z +5 = 0 при
λ = –1
λ = 1
ни при каком λ
λ = 0
Однополостный гиперболоид image096.gifпересекается плоскостью, параллельной координатной плоскости XOY, по
паре пересекающихся прямых
эллипсу
гиперболе
в одной точек
Установите соответствие между поверхностью второго порядка и ее уравнением.
Двуполостный гиперболоид
image237.jpg
Однополостный гиперболоид
image238.jpg
Эллипсоид
image239.jpg
Даны плоскости 1) 2x + y – 2z + 9 = 0 и 2) x – 2y + 2z + 3 = 0. Расстояния d1 и d2 от начала координат до плоскости 1) и 2) соответственно удовлетворяют равенству
image117.gif
d1 = 3d2
d1 = 2d2
d1 = d2
Расстояние от точки M0(–3, 0, 1) до плоскости 2x + 3y + 6z + 21 = 0 равно
21
± 3
3
7
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, 0, 1) параллельно оси OY, имеют вид
image074.gif
image072.gif
image071.gif
image073.gif
Плоскости image198.jpgпринадлежат точки…
image202.jpg
image201.jpg
image203.jpg
image199.jpg
image200.jpg
Дана сфера x2 + y2 + z2 – 2x – 8 = 0. Установите верные соответствия между плоскостями и их пересечениями со сферой
x = 4
нет точек пересечения
x = 1
окружность y2 + z2 = 9
x = – 4
касается сферы в точке C(4,0,0)
Расстояние d между параллельными плоскостями x + 2y – 2z – 4 = 0 и x + 2y – 2z + 6 = 0 равно
2
1
5
image055.gif
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(2,0,–3), перпендикулярно плоскости image038.gif, имеют вид
x = 2+ 2t y = –3t z = –3 + 5t
x = 2 + 2t y = 3 z = 5 – 3t
x = –2 + 2t y = 3 z = –5 – 3t
x = –2 + 2t y = –3t z = 3 + 5t
Прямая x = 2t; y = 1 – t; z = –2 + 3t пересекается с плоскостью x – y – z – 1 = 0 в точке
пересекаются только в одной точке М(0,-1,-1)
во множестве точек (прямая лежит на плоскости)
ни в одной точке
только в одной точке M(0,1,–2)
Проекцией точки M1(2,1,6) на плоскость XOZ является точка
M2(0,1,0)
M2(2,1,0)
M2(2,0,6)
M2(0,1,6)
Прямые image123.gifи image124.gif
совпадают
лежат в одной плоскости
параллельны
имеют общую точку A(3,2,–2)
Уравнение плоскости, проходящей через точки M1(5, 0, 0), M2(0, 2, 0) и M3(0, 0, 1), имеет вид
5x + 2y + z = 25
image129.gif
2x + 5y + 10z = 10
image128.gif
Даны плоскости 1) 6x + 3y – 2z -7 =0; 2) 2x + 6y -3x + 21 =0; 3) 3x + 2y – 6z – 14 = 0. С увеличением расстояния от начала координат плоскости расположены в порядке
1, 3, 2
1, 2, 3
3, 1, 2
все плоскости расположены на одинаковом расстоянии
Даны точки M1(1,–1,0), M2(0,0,1) и плоскость x + 3y – 2z + 2 = 0
вектор image170.gifлежит на плоскости
точка M2 не лежит на плоскости
вектор image170.gifперпендикулярен плоскости
расстояние от точки M1 до плоскости равно 0
Прямая image138.gifи плоскость x – 2y – 3z + 9 = 0
прямая лежит в плоскости при λ = −10
перпендикулярны при любом λ
параллельны при λ = −10
перпендикулярны при λ = 4
Нормальным вектором плоскости, проходящей через точку A(1, 2, 3), перпендикулярно вектору image005.gif, является вектор
image007.gif
image009.gif
image006.gif
image008.gif
Даны плоскости 1) x + y + z – 3 = 0; 2) x – y + z + 3 = 0, тогда
плоскость 1) удалена от начала координат на расстоянии вдвое большем, чем плоскость 2)
обе плоскости проходят через начало координат
плоскость 1) двое ближе к началу координат, чем плоскость 2)
обе плоскости отстоят от начала координат на равном расстоянии
Дана прямая image039.gif. Укажите верные соответствия между расположением прямой относительно плоскостей
прямая лежит на плоскости
x – y – z + 3 = 0
прямая перпендикулярна плоскости
2x – y + 3z – 10 = 0
прямая параллельна плоскости
x – y – z – 1 = 0
Плоскость z = –1 пересекает гиперболоид image085.gifпо ___ с полуосями 4 и 3
Плоскость y + 2 = 0 пересекает поверхность image087.gifпо
по гиперболе
в точке image089.gif
параболе image088.gif
параболе x2 = 5(z + 1)
Прямая image197.gifпараллельна плоскости x – 2y – 3z + 9 = 0 при λ, равном ___ (число)
Уравнение x2 – y2 – 2x + 1 = 0 в пространстве определяет
цилиндрическую поверхность, направляющей которой служит гипербола, а образующие параллельны оси OZ
пару прямых
пару плоскостей x – y = 1 и x + y = 1, параллельных оси OZ
гиперболу
Уравнения image192.gifявляются ___ (какими?) уравнениями прямой (слово)