Основы математического анализа, часть II
Точка
называется точкой минимума функции
, если
![image223.gif](/discipline-images/249988/image223.gif)
![image229.gif](/discipline-images/249988/image229.gif)
существует окрестность точки
такая, что для всех точек этой окрестности, отличных от Р0, выполняется ![image225.gif](/discipline-images/249988/image225.gif)
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
![image225.gif](/discipline-images/249988/image225.gif)
для всех точек P из области определения функции выполняется ![image230.gif](/discipline-images/249988/image230.gif)
![image230.gif](/discipline-images/249988/image230.gif)
существует окрестность точки
такая, что для всех точек P этой окрестности выполняется ![image231.gif](/discipline-images/249988/image231.gif)
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
![image231.gif](/discipline-images/249988/image231.gif)
для всех точек P из области определения функции выполняется ![image228.gif](/discipline-images/249988/image228.gif)
![image228.gif](/discipline-images/249988/image228.gif)
Область определения функции
есть множество
![image100.gif](/discipline-images/249988/image100.gif)
![image102.gif](/discipline-images/249988/image102.gif)
{(x, y): x-y![image101.gif](/discipline-images/249988/image101.gif)
![image101.gif](/discipline-images/249988/image101.gif)
{(x, y) : x > y}
{(x, y) : x < y}
Стационарная точка для функции
имеет координаты
![image191.gif](/discipline-images/249988/image191.gif)
(5, 5)
(0, 5)
(0, 0)
(5, 0)
Частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям
, равно
![image072.gif](/discipline-images/249988/image072.gif)
![image081.gif](/discipline-images/249988/image081.gif)
![image085.gif](/discipline-images/249988/image085.gif)
![image082.gif](/discipline-images/249988/image082.gif)
![image083.gif](/discipline-images/249988/image083.gif)
![image084.gif](/discipline-images/249988/image084.gif)
Частное решение дифференциального уравнения
равно
![image275.gif](/discipline-images/249988/image275.gif)
3
7x + 1
![image276.gif](/discipline-images/249988/image276.gif)
-x
Точка
называется стационарной для дифференцируемой функции f(
), если
![image223.gif](/discipline-images/249988/image223.gif)
![image232.gif](/discipline-images/249988/image232.gif)
частные производные функции f(P) в точке
не существуют
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
частные производные функции f(P) в точке
не равны нулю
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
в этой точке выполняются необходимые условия наличия экстремума
частные производные функции f(P) в точке
равны 1
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
Поверхность уровня функции
в точке
имеет уравнение
![image247.gif](/discipline-images/249988/image247.gif)
![image248.gif](/discipline-images/249988/image248.gif)
![image251.gif](/discipline-images/249988/image251.gif)
![image250.gif](/discipline-images/249988/image250.gif)
![image249.gif](/discipline-images/249988/image249.gif)
2x + 2y + 2z = 6
Полным дифференциалом функции z = f(x, y) в точке
называется выражение
![image127.gif](/discipline-images/249988/image127.gif)
![image128.gif](/discipline-images/249988/image128.gif)
![image129.gif](/discipline-images/249988/image129.gif)
![image130.gif](/discipline-images/249988/image130.gif)
![image131.gif](/discipline-images/249988/image131.gif)
![image132.gif](/discipline-images/249988/image132.gif)
Точка
называется точкой максимума функции f(x, y), если
![image223.gif](/discipline-images/249988/image223.gif)
для всех точек P из области определения функции выполняется ![image224.gif](/discipline-images/249988/image224.gif)
![image224.gif](/discipline-images/249988/image224.gif)
существует окрестность точки
такая, что для всех точек P этой окрестности выполняется ![image227.gif](/discipline-images/249988/image227.gif)
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
![image227.gif](/discipline-images/249988/image227.gif)
для всех точек P из области определения функции выполняется ![image225.gif](/discipline-images/249988/image225.gif)
![image225.gif](/discipline-images/249988/image225.gif)
существует окрестность точки
такая, что для всех точек этой окрестности, отличных от Р0, выполняется ![image228.gif](/discipline-images/249988/image228.gif)
![image226.gif](/discipline-images/249988/image226.gif)
![image228.gif](/discipline-images/249988/image228.gif)
Частное решение дифференциального уравнения
ищется в виде
![image268.gif](/discipline-images/249988/image268.gif)
AX+B
A
![image269.gif](/discipline-images/249988/image269.gif)
![image007.gif](/discipline-images/249988/image007.gif)
Частное решение неоднородного разностного уравнения
равно
![image050.gif](/discipline-images/249988/image050.gif)
![image051.gif](/discipline-images/249988/image051.gif)
5
2
0
Линия уровня функции
в точке
(1, 0) имеет уравнение
![image252.gif](/discipline-images/249988/image252.gif)
![image199.gif](/discipline-images/249988/image199.gif)
![image254.gif](/discipline-images/249988/image254.gif)
![image253.gif](/discipline-images/249988/image253.gif)
2x - 2y = 1
![image255.gif](/discipline-images/249988/image255.gif)
Полный дифференциал функции
в точке
равен
![image182.gif](/discipline-images/249988/image182.gif)
![image183.gif](/discipline-images/249988/image183.gif)
4(dx +dy)
4dx + 2dy
dx + dy
2dx + 4dy
Стационарная точка для функции
имеет координаты
![image189.gif](/discipline-images/249988/image189.gif)
(0, 1)
(1, 0)
(-1, -1)
(0, 0)
Общее решение разностного уравнения
с постоянными коэффициентами в случае равных корней ![image039.gif](/discipline-images/249988/image039.gif)
характеристического уравнения имеет вид
![image038.gif](/discipline-images/249988/image038.gif)
![image039.gif](/discipline-images/249988/image039.gif)
![image040.gif](/discipline-images/249988/image040.gif)
![image042.gif](/discipline-images/249988/image042.gif)
![image043.gif](/discipline-images/249988/image043.gif)
![image041.gif](/discipline-images/249988/image041.gif)
![image044.gif](/discipline-images/249988/image044.gif)
Полный дифференциал функции
в точке
равен
![image180.gif](/discipline-images/249988/image180.gif)
![image181.gif](/discipline-images/249988/image181.gif)
dx - dy
dx + dy
dx
dy
Следующее условие достаточно для наличия экстремума функции z = f(x, y) в стационарной точке ![image119.gif](/discipline-images/249988/image119.gif)
![image119.gif](/discipline-images/249988/image119.gif)
![image123.gif](/discipline-images/249988/image123.gif)
![image122.gif](/discipline-images/249988/image122.gif)
![image121.gif](/discipline-images/249988/image121.gif)
![image120.gif](/discipline-images/249988/image120.gif)
Частное решение однородного разностного уравнения
, удовлетворяющее начальному условию
, равно
![image028.gif](/discipline-images/249988/image028.gif)
![image029.gif](/discipline-images/249988/image029.gif)
![image031.gif](/discipline-images/249988/image031.gif)
![image026.gif](/discipline-images/249988/image026.gif)
![image025.gif](/discipline-images/249988/image025.gif)
![image030.gif](/discipline-images/249988/image030.gif)
Стационарная точка для функции
имеет координаты
![image182.gif](/discipline-images/249988/image182.gif)
(1, 0)
(0, 1)
(-1, -1)
(0, 0)
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения
имеет корни
![image072.gif](/discipline-images/249988/image072.gif)
1, -1
i, - i
-1, -1
1, 1
Стационарная точка для функции z = xy имеет координаты
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(0, 1)
Полный дифференциал функции
в точке
равен
![image184.gif](/discipline-images/249988/image184.gif)
![image185.gif](/discipline-images/249988/image185.gif)
3dx - 3dy
3(dx + dy)
dx + dy
-3dx - 3dy
Стационарная точка для функции
имеет координаты
![image192.gif](/discipline-images/249988/image192.gif)
(3, 3)
(-3, -3)
(0, 0)
(1, 1)
Поверхности уровня для функции u = z2xy имеют вид
z2xy = const
z2xy > 1
z > 0, xy < 1
z2xy < 0
Частное решение неоднородного разностного уравнения
равно
![image032.gif](/discipline-images/249988/image032.gif)
3
0
4
2
Частное решение дифференциального уравнения
равно
![image064.gif](/discipline-images/249988/image064.gif)
10x -4
10x
3
2x-3