Математический анализ (курс 3)
Для следующих функций
: а)
; b)
; с)
интеграл
по кривой
, идущей из точки
в
и лежащей в области
, не зависит от пути интегрирования
![image175.gif](/discipline-images/284492/image175.gif)
![image182.gif](/discipline-images/284492/image182.gif)
![image183.gif](/discipline-images/284492/image183.gif)
![image184.gif](/discipline-images/284492/image184.gif)
![image179.gif](/discipline-images/284492/image179.gif)
![image180.gif](/discipline-images/284492/image180.gif)
![image185.gif](/discipline-images/284492/image185.gif)
![image186.gif](/discipline-images/284492/image186.gif)
![image187.gif](/discipline-images/284492/image187.gif)
b) и с)
ни для одной из них
а), b) и с)
только а)
На интервале
непрерывная функция
возрастает. Тогда ее наибольшее значение будет
![image1163.gif](/discipline-images/284492/image1163.gif)
![image1144.gif](/discipline-images/284492/image1144.gif)
в одной из критических точек
в точке экстремума
в некоторой точке c, ![image1156.gif](/discipline-images/284492/image1156.gif)
![image1156.gif](/discipline-images/284492/image1156.gif)
![image1164.gif](/discipline-images/284492/image1164.gif)
Производная
функции
в точке
в направлении, задаваемом вектором
, равна
![image943.gif](/discipline-images/284492/image943.gif)
![image944.gif](/discipline-images/284492/image944.gif)
![image945.gif](/discipline-images/284492/image945.gif)
![image946.gif](/discipline-images/284492/image946.gif)
![image947.gif](/discipline-images/284492/image947.gif)
![image950.gif](/discipline-images/284492/image950.gif)
![image951.gif](/discipline-images/284492/image951.gif)
![image952.gif](/discipline-images/284492/image952.gif)
![image953.gif](/discipline-images/284492/image953.gif)
![image954.gif](/discipline-images/284492/image954.gif)
![image955.gif](/discipline-images/284492/image955.gif)
![image956.gif](/discipline-images/284492/image956.gif)
![image948.gif](/discipline-images/284492/image948.gif)
![image949.gif](/discipline-images/284492/image949.gif)
A = {x: x > 1, x ¹2}. Данное множество выражается как:
(1; 2) È (2; +¥)
(1; 2) È [2; +¥)
[1; 2) È (2; +¥)
[1; 2] È [2; +¥)
Ряд Фурье функции f(x) = х2 (- p < x £ p), Т = 2p, в точке х0 =
сходится к значению
![image533.gif](/discipline-images/284492/image533.gif)
0
![image533.gif](/discipline-images/284492/image533.gif)
![image534.gif](/discipline-images/284492/image534.gif)
1
Ряды
и ![image452.gif](/discipline-images/284492/image452.gif)
![image453.gif](/discipline-images/284492/image453.gif)
![image452.gif](/discipline-images/284492/image452.gif)
первый - сходится, второй - расходится
первый ряд - расходится, второй ряд - сходится
оба расходятся
оба сходятся
Длина дуги параболы
с концами в точках О(0, 0) и А(2, 4) вычисляется с помощью интеграла
![image814.gif](/discipline-images/284492/image814.gif)
![image832.gif](/discipline-images/284492/image832.gif)
![image830.gif](/discipline-images/284492/image830.gif)
![image833.gif](/discipline-images/284492/image833.gif)
![image831.gif](/discipline-images/284492/image831.gif)
Множество ![image626.gif](/discipline-images/284492/image626.gif)
![image626.gif](/discipline-images/284492/image626.gif)
является трехсвязной областью
является односвязной областью
является двусвязной областью
не является областью, открытой либо замкнутой
Дифференциалы dx и dy принимаются равными приращениям аргументов Δx и Δy потому, что
Δx и Δy - б.м. высшего порядка
для функции z =x будет
и
(для dy - аналогичное рассуждение)
![image917.gif](/discipline-images/284492/image917.gif)
![image918.gif](/discipline-images/284492/image918.gif)
дифференциал dx - главная часть приращения Δx
Δx и Δy - бесконечно малые
Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = ![image087.gif](/discipline-images/284492/image087.gif)
:
![image087.gif](/discipline-images/284492/image087.gif)
![image088.gif](/discipline-images/284492/image088.gif)
{-0,25;
}
![image089.gif](/discipline-images/284492/image089.gif)
{-9;4}
{-4;9}
{-
; 0,25}
![image089.gif](/discipline-images/284492/image089.gif)
Область значений функции y = f(x) есть
ось Oy
множество всех значений, принимаемых величиной y
интервал оси Oy
совокупность значений аргумента функции
Выражение
является
![image1060.gif](/discipline-images/284492/image1060.gif)
градиентом
полным дифференциалом
неполным дифференциалом
вторым дифференциалом
Соответствие между осями OX и OY задается с помощью формулы y = x3. Это соответствие является взаимно однозначным
при -1 £ х £ 1
при любых х
при х > 0
при х ³ 0
Для лорановского разложения функции
в проколотой окрестности точки ![image230.gif](/discipline-images/284492/image230.gif)
![image375.gif](/discipline-images/284492/image375.gif)
![image230.gif](/discipline-images/284492/image230.gif)
![image377.gif](/discipline-images/284492/image377.gif)
![image376.gif](/discipline-images/284492/image376.gif)
правильная часть равна нулю
![image376.gif](/discipline-images/284492/image376.gif)
![image377.gif](/discipline-images/284492/image377.gif)
главная часть равна нулю
Необходимое условие сходимости ряда состоит в том, что
предел общего члена ряда равен нулю
предел частной суммы ряда равен нулю
предел общего члена ряда равен бесконечности
предел общего члена ряда не существует
Бинормаль к кривой в некоторой точке - это
другая нормаль
прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нормали
плоскость, перпендикулярная касательной прямой
прямая в нормальной плоскости
Ряд ![image474.gif](/discipline-images/284492/image474.gif)
![image474.gif](/discipline-images/284492/image474.gif)
расходится по признаку Даламбера
расходится, так как предел общего члена не равен нулю
сходится, так как предел общего члена равен ½
сходится, так как предел общего члена равен нулю
Уравнение теплопроводности после преобразования Фурье имеет вид
s2u - uxx = 0 ;
ut - s2u = 0 ;
ut + s2u = 0 ;
s2u + uxx = 0 ;
Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью Ut(x,0) = y(x) записывается в виде U(x,t) =
+ ![image024.gif](/discipline-images/284492/image024.gif)
y(x)dx Тогда решение уравнения Utt = а2Uxx при начальном отклонении U(x,0) =
и начальной скоростью Ut (x,0) = 0 имеет вид
![image023.gif](/discipline-images/284492/image023.gif)
![image024.gif](/discipline-images/284492/image024.gif)
![image025.gif](/discipline-images/284492/image025.gif)
![image026.gif](/discipline-images/284492/image026.gif)
U(x,t) =
(
+
)
![image030.gif](/discipline-images/284492/image030.gif)
![image028.gif](/discipline-images/284492/image028.gif)
![image029.gif](/discipline-images/284492/image029.gif)
U(x,t) =
(
+
)
![image030.gif](/discipline-images/284492/image030.gif)
![image031.gif](/discipline-images/284492/image031.gif)
![image032.gif](/discipline-images/284492/image032.gif)
U(x,t) =
(
+
)
![image027.gif](/discipline-images/284492/image027.gif)
![image028.gif](/discipline-images/284492/image028.gif)
![image029.gif](/discipline-images/284492/image029.gif)
Особая точка кривой L: y2 = x3 + x2 будет
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(0, 1)
Разложение функции ех в ряд Маклорена и область сходимости следующие:
1 +
(-1 £ х £ 1)
![image517.gif](/discipline-images/284492/image517.gif)
x -
(-¥ < x < ¥)
![image515.gif](/discipline-images/284492/image515.gif)
x +
(-2 < x £ 2)
![image516.gif](/discipline-images/284492/image516.gif)
1 +
(-¥ < x < ¥)
![image517.gif](/discipline-images/284492/image517.gif)
Ряд Маклорена для функции у = е-3х сходится
только при х = 0
на всей числовой прямой
расходится всюду, кроме х = 0
только в промежутке (-1,1)
Волновое уравнение на плоскости имеет вид
Utt + a2Uxx = 0
Utt = a2(Uxx + Uyy)
Ut = a2(Uxx + Uyy)
Utt + Uxx = Uy
Высказывания а и b истинны. Высказывание «а и не b» является
простым, истинным
сложным, истинным
простым, ложным
сложным, ложным
Свёрткой функций f(x) и g(x) называется функция
f*g =![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
f(x)g(x)dx
![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
![image013.gif](/discipline-images/284492/image013.gif)
f*g =![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
f(x)g(x)dx
![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
![image013.gif](/discipline-images/284492/image013.gif)
f*g =![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
f(x-x)g(x)dx
![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
![image013.gif](/discipline-images/284492/image013.gif)
f*g =![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
f(x)g(x)dx
![image012.gif](/discipline-images/284492/image012.gif)
![image013.gif](/discipline-images/284492/image013.gif)
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения
выполнена в области
![image1061.gif](/discipline-images/284492/image1061.gif)
вся плоскость (t, x)
{|t| < 1, |x| < 1}
{t2 + x2 < 4}
{|tx| < 1}
Функция U является решением уравнения Ut = Uxx + etx. Тогда решением этого же уравнения будет функция
U - 2tx2
U -2t + x2
U + 2tx2
U + 2t + x2
График функции ![image1171.gif](/discipline-images/284492/image1171.gif)
![image1171.gif](/discipline-images/284492/image1171.gif)
имеет асимптоту: ![image1172.gif](/discipline-images/284492/image1172.gif)
![image1172.gif](/discipline-images/284492/image1172.gif)
имеет единственную асимптоту: ![image1173.gif](/discipline-images/284492/image1173.gif)
![image1173.gif](/discipline-images/284492/image1173.gif)
асимптот (y) не имеет, так как знаменатель не обращается в нуль
не имеет точек разрыва и асимптот
Функция tgx на (-p/2; p/2)
возрастающая
убывающая при х ³ 0, возрастающая при х < 0
возрастающая при х > 0, убывающая при х <0
убывающая
Ряд
сходится на промежутке
![image485.gif](/discipline-images/284492/image485.gif)
-¥ < x < ¥
-1 £ x < 1
-1 £ x £ 1
-1 < x< 1
Точка с абсциссой
для функции
является точкой
![image763.gif](/discipline-images/284492/image763.gif)
![image764.gif](/discipline-images/284492/image764.gif)
перегиба
разрыва
максимума
минимума
Свободный член а0 ряда Фурье функции f(x) = 2х (-1 < x < 1), Т = 2 равен
2
0
1
-2
Сумма ряда
равна
![image518.gif](/discipline-images/284492/image518.gif)
![image519.gif](/discipline-images/284492/image519.gif)
![image520.gif](/discipline-images/284492/image520.gif)
ln (1 + x); (-1 < x < 1)
ех ; (-¥ < x < ¥)
Параболический тип имеет уравнение
3Uxx - Uyy = 0
Uxx + 2Uxy - Uyy = 0
2Uxx + Uxy = 0
4Uxx - 8Uxy + 4Uyy = 0
Решение задачи y¢¢ +16у = 0, у¢(0) = у¢(
) = 0 имеет вид
![image010.gif](/discipline-images/284492/image010.gif)
y = sin4pх
y = cos4х
y = cos4pх
y = sin4х
A = {x: 2 £ x < 4, x ¹3}. Данное множество выражается как:
[2; 3) È (3;4)
[2; 3] È [3;4]
[2; 3] È [3;4)
(2; 3) È (3;4)