Алгебра и геометрия (курс 3)
Для системы уравнений
фундаментальной может служить система векторов
![image058.gif](/discipline-images/323382/image058.gif)
![image066.gif](/discipline-images/323382/image066.gif)
![image067.gif](/discipline-images/323382/image067.gif)
![image070.gif](/discipline-images/323382/image070.gif)
![image071.gif](/discipline-images/323382/image071.gif)
![image072.gif](/discipline-images/323382/image072.gif)
![image068.gif](/discipline-images/323382/image068.gif)
![image069.gif](/discipline-images/323382/image069.gif)
![image067.gif](/discipline-images/323382/image067.gif)
Свободными переменными в системе уравнений
являются
![image127.gif](/discipline-images/323382/image127.gif)
x5
x1, x2
x4, x5
x2, x3
Система
имеет
![image126.gif](/discipline-images/323382/image126.gif)
единственное решение
лишь три решения
множество решений
лишь два решения
Расширенная матрица
системы уравнений имеет вид:
, тогда система
![image077.gif](/discipline-images/323382/image077.gif)
![image083.gif](/discipline-images/323382/image083.gif)
несовместна
имеет три решения
имеет множество решений
имеет единственное решение
В системе уравнений
зависимыми (несвободными) переменными являются
![image027.gif](/discipline-images/323382/image027.gif)
все переменные свободные
![image028.gif](/discipline-images/323382/image028.gif)
![image030.gif](/discipline-images/323382/image030.gif)
![image031.gif](/discipline-images/323382/image031.gif)
Свободными переменными в системе уравнений
являются
![image128.gif](/discipline-images/323382/image128.gif)
х1, x2, x3
x1, x3
x4, x5
x1, х2
Даны векторы a̅=(3,0,-1), b̅=(2,1,-1), c̅=(1,1,1). Решением системы уравнений
являются векторы
![image136.gif](/discipline-images/323382/image136.gif)
только a̅
a̅, b̅
только b̅
a̅, b̅, c̅
Две системы линейных уравнений эквивалентны, если
множества их решений совпадают
их матрицы совпадают
системы имеют одинаковое число переменных и уравнений
системы имеют одинаковое число переменных
Размерность пространства решений V системы уравнений ![image076.gif](/discipline-images/323382/image076.gif)
равна
![image076.gif](/discipline-images/323382/image076.gif)
![image073.gif](/discipline-images/323382/image073.gif)
![image073.gif](/discipline-images/323382/image073.gif)
![image073.gif](/discipline-images/323382/image073.gif)
![image073.gif](/discipline-images/323382/image073.gif)
![image073.gif](/discipline-images/323382/image073.gif)
Для системы уравнений
зависимыми (несвободными) переменными можно считать
![image058.gif](/discipline-images/323382/image058.gif)
![image060.gif](/discipline-images/323382/image060.gif)
![image041.gif](/discipline-images/323382/image041.gif)
![image042.gif](/discipline-images/323382/image042.gif)
![image039.gif](/discipline-images/323382/image039.gif)
Система уравнений с расширенной матрицей ![image085.gif](/discipline-images/323382/image085.gif)
![image085.gif](/discipline-images/323382/image085.gif)
имеет три решения
имеет множество решений
имеет единственное решение
несовместна
В системе уравнений
зависимыми (несвободными) переменными можно считать переменные
![image037.gif](/discipline-images/323382/image037.gif)
![image038.gif](/discipline-images/323382/image038.gif)
![image042.gif](/discipline-images/323382/image042.gif)
![image040.gif](/discipline-images/323382/image040.gif)
![image041.gif](/discipline-images/323382/image041.gif)
Даны векторы a̅=(-1,1,-1), b̅=(1,1,1), c̅=(-1,-1,-1). Решением системы уравнений
являются векторы:
![image137.gif](/discipline-images/323382/image137.gif)
ни один вектор не является решением системы
a̅, c̅
только c̅
a̅, b̅
Система уравнений Ax̅=b̅ совместна, если
dim A = dim A̅
r(A) = r(A̅)
r(A) < r(A̅)
r(A̅) = r(A) + 1
Число векторов базиса подпространства V решений системы уравнений
равно
![image058.gif](/discipline-images/323382/image058.gif)
2
1
4
3
Расширенная матрица
системы уравнений имеет вид:
, тогда система уравнений
![image077.gif](/discipline-images/323382/image077.gif)
![image078.gif](/discipline-images/323382/image078.gif)
имеет единственное решение ![image079.gif](/discipline-images/323382/image079.gif)
![image079.gif](/discipline-images/323382/image079.gif)
несовместна
имеет лишь тривиальное решение ![image080.gif](/discipline-images/323382/image080.gif)
![image080.gif](/discipline-images/323382/image080.gif)
имеет множество решений
Для системы уравнений
фундаментальной может служить система векторов
![image129.gif](/discipline-images/323382/image129.gif)
f̅ = (1, 2, 0)
f̅1 = (1, 2, 0), f̅2 = (5, 0, -2)
f̅1 = (1, 2, 0); f̅2 = (5, 0, -2), f̅3 = (0, 0, 0)
f̅1 = (0, 0, 0,), f̅2 = (5, 0, -2)
Даны векторы a̅=(1,0,1), b̅=(1,1,2), c̅=(1,2,3). Решением системы уравнений
являются векторы
![image138.gif](/discipline-images/323382/image138.gif)
a̅, b̅, c̅
только вектор a̅
только вектор b̅
ни один вектор не является решением системы
Для системы уравнений
фундаментальной системой решений могут служить векторы
![image037.gif](/discipline-images/323382/image037.gif)
![image053.gif](/discipline-images/323382/image053.gif)
![image054.gif](/discipline-images/323382/image054.gif)
![image057.gif](/discipline-images/323382/image057.gif)
![image053.gif](/discipline-images/323382/image053.gif)
![image054.gif](/discipline-images/323382/image054.gif)
![image055.gif](/discipline-images/323382/image055.gif)
![image054.gif](/discipline-images/323382/image054.gif)
![image056.gif](/discipline-images/323382/image056.gif)
Расширенная матрица
системы уравнений имеет вид:
, тогда система
![image077.gif](/discipline-images/323382/image077.gif)
![image081.gif](/discipline-images/323382/image081.gif)
имеет лишь тривиальное решение
имеет единственное решение ![image079.gif](/discipline-images/323382/image079.gif)
![image079.gif](/discipline-images/323382/image079.gif)
имеет множество решений
несовместна
Для системы уравнений
свободными независимыми переменными можно считать
![image058.gif](/discipline-images/323382/image058.gif)
![image059.gif](/discipline-images/323382/image059.gif)
![image042.gif](/discipline-images/323382/image042.gif)
![image030.gif](/discipline-images/323382/image030.gif)
![image060.gif](/discipline-images/323382/image060.gif)
Расширенная матрица
системы уравнений имеет вид:
, тогда система
![image077.gif](/discipline-images/323382/image077.gif)
![image084.gif](/discipline-images/323382/image084.gif)
имеет множество решений
имеет три решения
несовместна
имеет единственное решение
Вектором–решением системы уравнений Ax̅=b̅ для
и
является вектор
![image149.gif](/discipline-images/323382/image149.gif)
![image150.gif](/discipline-images/323382/image150.gif)
решения нет
x̅ = (0,0,1)
x = (1,1,1)
x = (1,0,0)
В системе уравнений
свободными (независимыми) можно считать переменные
![image037.gif](/discipline-images/323382/image037.gif)
свободных переменных нет
![image039.gif](/discipline-images/323382/image039.gif)
![image038.gif](/discipline-images/323382/image038.gif)
![image040.gif](/discipline-images/323382/image040.gif)
Для системы уравнений
общее решение можно записать в виде
![image037.gif](/discipline-images/323382/image037.gif)
![image043.gif](/discipline-images/323382/image043.gif)
![image044.gif](/discipline-images/323382/image044.gif)
![image051.gif](/discipline-images/323382/image051.gif)
![image052.gif](/discipline-images/323382/image052.gif)
![image038.gif](/discipline-images/323382/image038.gif)
![image048.gif](/discipline-images/323382/image048.gif)
![image049.gif](/discipline-images/323382/image049.gif)
![image050.gif](/discipline-images/323382/image050.gif)
![image045.gif](/discipline-images/323382/image045.gif)
![image046.gif](/discipline-images/323382/image046.gif)
![image047.gif](/discipline-images/323382/image047.gif)
Расширенная матрица
системы уравнений имеет вид:
, тогда система
![image077.gif](/discipline-images/323382/image077.gif)
![image082.gif](/discipline-images/323382/image082.gif)
имеет множество решений
несовместна
имеет три решения
имеет единственное решение
Из векторов
решениями системы уравнений
являются вектора
![image096.gif](/discipline-images/323382/image096.gif)
![image093.gif](/discipline-images/323382/image093.gif)
![image091.gif](/discipline-images/323382/image091.gif)
![image089.gif](/discipline-images/323382/image089.gif)
ни один вектор не является решением
![image094.gif](/discipline-images/323382/image094.gif)
Общее решение системы
в координатной форме можно записать в виде
![image130.gif](/discipline-images/323382/image130.gif)
![image134.gif](/discipline-images/323382/image134.gif)
![image132.gif](/discipline-images/323382/image132.gif)
![image133.gif](/discipline-images/323382/image133.gif)
![image131.gif](/discipline-images/323382/image131.gif)
Из векторов
решениями системы уравнений
являются вектора
![image092.gif](/discipline-images/323382/image092.gif)
![image093.gif](/discipline-images/323382/image093.gif)
![image094.gif](/discipline-images/323382/image094.gif)
![image088.gif](/discipline-images/323382/image088.gif)
![image095.gif](/discipline-images/323382/image095.gif)
ни один вектор не есть решение