Алгебра и геометрия (курс 1)
Разложение по второй строке определителя имеет вид:
6a21 + 3a22 + 4a23
6a21 - 3a22 + 4a23
3a21 - a22 + 2a23
-5a21 - 3a22 - 4a23
Прямая :
параллельна оси OY
параллельна оси OX
перпендикулярна плоскости XOZ
параллельна плоскости XOZ
В линейной оболочке функций выбран базис . Координаты функции по этому базису равны:
(1, 1)
(-2, 2)
(1, -1)
(2, 2)
Векторы a̅1=(1,-1,1), a̅2=(2,0,3), a̅3=(0,2,1):
линейно независимы
линейно зависимы
образуют базис в R3
имеют ранг, равный 3
Координаты фокусов гиперболы равны
F1(0, -3); F2(0, 3)
F1(-3, 0); F2(3, 0)
F1(-5, 0); F2(5, 0)
F1(-4, 0); F2(4, 0)
Система Ax̅=0̅ имеет единственное __________________ решение, если detA≠0
Из собственных векторов матрицы составить базис в пространстве R2:
нельзя, т.к. собственный вектор только один
можно составить ортогональный базис.
можно составить базис, но не ортогональный
нельзя, т.к. все собственные вектора линейно зависимы
Если А – матрица порядка 3×5, тогда :
det A = 15
все строки матрицы линейно независимы
число линейно независимых столбцов матрицы не больше 3
r(A) ≤ 3
Система является __________, если для системы Ax̅=b̅ выполняется равенство r(A)=r(A̅).
Коэффициент b в уравнении прямой есть _____________ точки пересечения прямой с осью OY.
Пусть det A = 5, тогда:
det (2A) = 10
det(AT) = -5
det D = 5, если D – матрица, полученная из матрицы А с помощью элементарного преобразования – прибавления к 3й строке 2й строки, умноженной на 2
det B = -5, если В – матрица, полученная перестановкой двух строк матрицы А
Общее уравнение прямой, проходящей через точку А(-1, 3) перпендикулярно вектору , имеет вид:
Уравнение :
определяет параболоид вращения
определяет параболоид с вершиной в начале координат
пересекает плоскость z = 1 по эллипсу
определяет эллиптический параболоид
Пусть А – квадратная матрица 3го порядка и detA≠0, тогда:
r(A) = 1
r(A) = 3
существует А-1
матрица А невырождена
Установите верные соответствия между многочленами второй степени и их координатами в базисе (1, -х, х2)в пространстве многочленов степени не выше двух.
(2 - x)2 + x
(-4, 4, -1)
1 - (2 - x)2
(-3, -4, -1)
- (x + 2)2
(4, 3, 1)
Прямая пересекает плоскость в точке:
М(-1, 2, 1)
М(5, 5, -2)
М(3, -2, 1)
М(2, 1, -1)
Векторы a̅1=(0,0,1), a̅2=(0,1,1), a̅3=(1,1,1) образуют базис в R3. Координаты вектора x̅=(3,0,1) в базисе a̅1,a̅2,a̅3 равны:
(3, -3, 1)
(1, 2 ,3)
(3, -3, 0)
(2, 2, 3)
Порядок максимального отличного от нуля минора матрицы А равен ___________ матрицы А
Координаты вектора x̅=(1,1,1) в базисе a̅1=(2,-2,0), a̅2=(0,1,1), a̅3=(0,0,1) равны:
Плоскость x + 2y – 3z + 1 = 0 и прямая :
пересекаются в точке М(0, 1, 1)
взаимно перпендикулярны
прямая принадлежит плоскости
параллельны
Укажите верные соответствия:
x – y + 5 = 0
прямая пересекает оси координат в точках M (5, 0) и N (0, 5)
x + y + 5 = 0
прямая параллельна биссектрисе II и IV координатных углов
x + y – 5 = 0
прямая параллельна биссектрисе I и III координатных углов
Матрица перехода от стандартного базиса к ортонормированному собственному базису матрицы равна:
Для матрицы собственными векторами являются вектора:
(0, -1)
(1, 0) и (0, 1)
(0, 0)
(1, 0)
В пространстве многочленов степени n ≤ 2 задан оператор и функция . Координаты образа D(f(x)) по базису равны:
(0, -1, 4)
(4, -1, 1)
(4, -1, -2)
(4, -1, 0)
Кривая, заданная уравнением :
имеет две оси симметрии x = 1 и y = -2
ее малая полуось a = 4 и большая полуось b = 9
определяет эллипс
имеет центр симметрии в точке C (-1, 2)
Даны три системы векторов: (1). (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (2). (1, 1, 1); (0, -1, -1); (1, 0, 0); (3). (1, 1, 1); (0, -1, -1); (0, 0, -1). Базис в R3 образуют системы:
(1)
(2) и (3)
никакая
только (3)
В пространстве R3 заданы три вектора: = (-1, 1, 0), = (0, -1, -1), = (-2, 3, 1). Для этих векторов справедливо утверждение:
cистема a̅, b̅, c̅ – линейно независима
вектора a̅ и b̅ – нормированы
cистема a̅, b̅, c̅ – ортогональная система
система a̅, b̅, c̅ – линейно зависима
Установите верное соответствие между квадратичной формой и ее матрицей
(x – y)(x + y)
(-x – y)2
(x – y)2
Общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1, -2) перпендикулярно вектору , имеет вид:
Координаты вершин гиперболы равны:
F1(-4,0), F2(4,0)
F1(0,-4), F2(0,4)
F1(0,-6), F2(0,6)
F1(-6,0), F2(6,0)
Квадратичная форма ортогональным преобразованием приводится к каноническому виду:
Размерность подпространства собственных векторов матрицы , отвечающих собственному значению λ = 1, равна:
2
3
нет собственных векторов, отвечающих λ = 1
1
Координаты векторного произведения [a̅,b̅] векторов a̅={3,1,-2} и b̅={-6,-2,4} равны:
{9, 1, 4}
{-18, -2, -8}
{-3, -1, 2}
{0, 0, 0}
Координаты многочлена в стандартном базисе равны:
(1, 3, -3, -1)
(1, 3, -3, 1)
(1, -3, 3, -1)
(1, 3, 3, 1)
________ называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки C (a, b).
Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1, 2, 1) перпендикулярно прямой x = 3t – 2,y = –4t + 1, z = 4t – 5, имеет вид:
-2x + y - 5z + 5 = 0
3x - 4y + 4z + 1 = 0
-2x + y - 5z - 5 = 0
3x - 4y + 4z - 1 = 0
Уравнение определяет поверхность с каноническим уравнением:
эллипсоид,
гиперболоид,
эллипсоид,
эллипсоид,
В пространстве многочленов степени n ≤ 2 задан оператор . Его матрица в стандартном базисе равна:
Квадратичная форма положительно определена при :
-1 ≤ λ ≤ 1
при любом λ
ни при каком λ
|λ| > 1
Квадратную матрицу называют ______________, если ее строки (столбцы) линейно зависимы.
Даны системы уравнений: 1) ; 2) ; 3) . Линейные пространства в пространстве R3 образуют все решения системы:
1,2
1,3
только 1
только 3
Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется _________________ матрицей.
Система векторов из R4 a̅1=(1,0,1,0), a̅2=(1,1,0,0), a̅3=(0,0,1,1), a̅4=(1,0,0,1):
линейно независима
линейно зависима
имеет ранг, равный 3
образует базис пространства R4
Укажите верные соответствия:
плоскости x-3z+2=0 и 2x-6z-7=0
образуют угол φ = π/4
плоскости 3x-y-2z-5=0 и x+9y-3z+2=0
перпендикулярны
плоскости x-2y+2z-8=0 и x+z-6=0
параллельны