Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2)
Выраженное через коэффициент регрессии axy уравнение регрессии Y на Х имеет вид
Из десяти лотерейных билетов наугад вынимаются два билета. Тогда вероятность того, что оба окажутся выигрышными, равна
0,5
0,05
0,4
Выборочное среднее 
и выборочная дисперсия S2для выборки объема n = 5: -3, -2, 0, 2, 3 равны
и выборочная дисперсия S2для выборки объема n = 5: -3, -2, 0, 2, 3 равны
Для стационарного случайного процесса математическое ожидание есть
постоянная величина
нечетная функция
периодическая функция
положительная величина
Результаты наблюдения над системой (х, у) двух величин записаны в таблицу.
Коэффициент корреляции равен
Коэффициент корреляции равен
=-1=1=-1/3=0Случайная величина распределена по нормальному закону, ее математическое ожидание равно 1, а дисперсия - 25. Тогда ее функция распределения имеет вид
Среднее число заявок в очереди для системы масcового обслуживания с неограниченной очередью, n - число каналов, l - интенсивность потока заявок, m - интенсивность потока обслуживания, r - загрузка системы, pn - вероятность того, что заняты все каналы и нет очереди; равно
Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид: 
Тогда выборочное среднее для этой выборки равно
Тогда выборочное среднее для этой выборки равно =3,3 =3,4 =4,0 =3,0В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны
10; 2,5; 3,(3)
9; 2,5; 3,(3)
10; 25; 5
9; 25; 5
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной «нормально с параметрами 3,2» - N[3,2], равны
MX=0; DX=2
MX=3; DX=1
MX=9; DX=2
MX=3; DX=4
Результаты наблюдений в моменты времени t1, t2, t3 и т.д. записываются в таблицу.
Для того чтобы выразить аналитически тенденцию изменения наблюдаемой величины во времени, следует
Для того чтобы выразить аналитически тенденцию изменения наблюдаемой величины во времени, следуетпостроить вариационный ряд
сосчитать 
, S2
, S2построить график
построить прямую методом наименьших квадратов
Среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания, есть
относительная пропускная способность
абсолютная пропускная способность
интенсивность потока заявок
интенсивность потока обслуживания
Величина коэффициента корреляции 
заключена в пределах
заключена в пределах
Для построения доверительного интервала для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте надо пользоваться таблицами
нормального распределения
плотности нормального распределения
распределения Пуассона
распределения Стьюдента
Под дискретным случайным вектором понимают
набор случайных чисел
случайный вектор с хотя бы одной дискретной компонентой
случайный вектор с дискретной первой компонентой
случайный вектор, компоненты которого дискретные случайные величины
Формула, выражающая вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (a, b) через функцию распределения, имеет вид:
P (a < X < b) = F(b) - F(a)
P (a < X < b) = 
(x) dx
(x) dxP (a < X < b) = 1
[F(b) - F(a)]
[F(b) - F(a)]P (a < X < b) =) 
- стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина x2 имеет распределениеФишера
N(0,1)
χ21
χ210
В управляемом марковском процессе средний суммарный выигрыш является функцией от
первого принятого решения
выбранной стратегии
траектории процесса
переходной функции
Для характеристических функций случайных величин 
и 
, где 
(
число), формула 
и , где ( число), формула верна для 
всегда справедлива
верна для 
несправедлива
Линейный прогноз 
называют оптимальным (наилучшим) для случайного процесса X(t), если на нем минимальна величина
называют оптимальным (наилучшим) для случайного процесса X(t), если на нем минимальна величина
Вариационный ряд для выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид:
-7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4
-7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 3
-7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5
-7, -5, 0, 1, 2, 3, 4
Случайные величины и называют независимыми, если функция распределения вектора 
может быть представлена в виде
и называют независимыми, если функция распределения вектора может быть представлена в виде
Статистика 
, по значению которой производится проверка нулевой гипотезы Н0 о том, что исследуемая случайная величина имеет определенный закон распределения, имеет χ2 распределение
, по значению которой производится проверка нулевой гипотезы Н0 о том, что исследуемая случайная величина имеет определенный закон распределения, имеет χ2 распределениес k=m-1 степенями свободы, где m - число слагаемых в сумме
с k=m-r-1 степенями свободы, где m - число слагаемых в сумме, r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным
с k=m-r-2 степенями свободы, где m - число слагаемых в сумме, r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным
с k=r-1 степенями свободы, где r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным
Случайная величина имеет показательное распределение с плотностью 
Тогда функция распределения равна
Тогда функция распределения равна
Два события будут несовместными, если
Р(АВ) = Р(А) + Р(В)
Р(АВ) = 1
Р(АВ) = Р(А)
Р(В)
Р(В)Р(АВ) = 0
Формула для определения дисперсии случайной величины имеет вид
DX = (MX)
DX = M [X - (MX)]
- (MX)]DX = M (XMX)
MX)DX = MX
В цепи Маркова среднее время пребывания в состоянии 
за время 
равно
за время равно
, где 
- предельная вероятность состояния , 
- вероятность находится в начальный момент времени в состоянии 
, где - предельная вероятность состояния 
, где - вероятность находится в начальный момент времени в состоянии 
, где - предельная вероятность состояния Оценка интенсивности входящего потока для одного наблюдения одноканальной системы с неограниченной очередью: t0 - общее время, когда система свободна, (0, t) - отрезок времени наблюдения, u - число обслуженных требований, а u - число поступивших требований, n - начальное число требований; равна
Свойствами простейшего потока из перечисленных : 1) стационарность; 2) непрерывность; 3) ординарность; 4) дискретность; 5) стохастичность; 6) отсутствие последействия- являются
1, 2, 3
1, 3, 6
2, 4, 6
3, 4, 5
Ковариационная матрица случайного вектора 
- это матрица, состоящая из элементов 
, равных
- это матрица, состоящая из элементов , равных
Дисперсия разности независимых случайных величин и равна
и равна1
0
Апостериорные вероятности Р(Нi
) - это вероятности
) - это вероятностигипотез
полной группы событий до реализации опыта
группы событий
гипотез после реализаций события
Для выборки, которая группируется с целью проверки гипотезы о виде распределения по критерию χ2, на интервалы группировки накладывается строгое ограничение: необходимо, чтобы
в каждый интервал попало по крайней мере пять наблюдений
в каждом интервале было по крайней мере два наблюдений
в каждом интервале было по крайней мере восемь наблюдений
в каждый интервал попало по крайней мере десять наблюдений
Ковариация независимых случайных величин равна
0
1
-1
Случайная величина Х распределена по нормальному закону, ее плотность вероятности 
. Тогда ее МХ, DX и 
таковы:
. Тогда ее МХ, DX и таковы:0; 9; 3
3; 0; 9
3; 3; 9
0; 3; 9
Для случайного процесса X(t) с дискретным временем его дисперсия есть неотрицательная
детерминированная величина
последовательность чисел
случайная величина
последовательность функций
Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема nх = 42 и ny = 20 с такими характеристиками: 
. При уровне значимости a = 0.05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних mx=my (конкурирующая гипотеза mx≠my). Область принятия гипотезы Н0, равна
. При уровне значимости a = 0.05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних mx=my (конкурирующая гипотеза mx≠my). Область принятия гипотезы Н0, равна(-1.8, 1.8)
(-3, 3)
(-2.5, 2.5)
(-2, 2)
Прямые эмпирической регрессии параллельны, если
коэффициент корреляции равен -1, но они не слились в одну
коэффициент корреляции равен 0
коэффициент корреляции равен 0 и они слились в одну
модуль коэффициента корреляции равен 1 и они слились в одну
Случайная величина Х распределена по нормальному закону, ее плотность вероятности 
. Тогда ее числовые характеристики таковы:
. Тогда ее числовые характеристики таковы:
Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию двух переменных , равную
называют функцию двух переменных , равную
Среднее число событий простейшего потока с параметром l, наступивших за единицу времени, равно
l2
l
По выборке объема n = 9 вычислили выборочное среднее 14.96 и исправленную несмещенную дисперсию 4.34. 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания m(t8,0.95 = 2.31) имеет следующий вид:
(13.50, 16.40)
(13.36, 16.56)
(13.30, 16.40)
(13.20, 15.90)
Коэффициент детерминации для дисперсионной модели равен
1,21
0,8
-1,11
-0,7
Дисперсию случайной величины Y = a X + b, которая является линейной функцией от случайной величины Х, вычисляют как
DY = aDX + b
DX + bDY = aDX
DY = aDX + b
DY = aDX
DXДифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы
соответствуют графу состояний
соответствуют графу состояний
Метод, применяемый для построения эмпирических прямых регрессии, называется методом
χ2
моментов
минимакса
наименьших квадратов
Среднее время ожидания в очереди для системы масcового обслуживания с неограниченной очередью, n - число каналов, l - интенсивность потока заявок, m - интенсивность потока обслуживания, r - загрузка системы, pn - вероятность того, что заняты все каналы и нет очереди; равно
Случайная величина распределена по нормальному закону, ее математическое ожидание равно 2, а дисперсия - 16. Тогда ее плотность распределения имеет вид
Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» - N[3,2]. Y=
. Значения MY и DY, если исходить из свойств математического ожидания и дисперсии, равны
. Значения MY и DY, если исходить из свойств математического ожидания и дисперсии, равныMY=3; DY=4
MY=0; DY=1
MY=0; DY=2
MY=3; DY=1
При проведении расчетов для дисперсионной модели от выборочных значений xij перешли к более удобным для расчета значениям yij=xij - 20. Расчеты дали эмпирическое среднее по всем данным =4. Гипотеза о влиянии фактора на среднее значение не подтвердилась. В качестве оценки для генерального среднего можно взять значение
=4. Гипотеза о влиянии фактора на среднее значение не подтвердилась. В качестве оценки для генерального среднего можно взять значение4
20
24
16