Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2)
Если вероятность р некоторого события неизвестна, а для оценки этой вероятности производится n испытаний, то 95%-й процентный доверительный интервал для величины р находится по формуле (во всех формулах принято обозначение: 
)
)
Утверждение 
верно всегда
верно, если 
- попарно независимы и 
для всех 
- попарно независимы и для всех неверно
верно, если 
независимы
независимыПри решении задач оптимального линейного прогнозирования считают известной, по крайней мере,
ковариационную функцию
конечномерные распределения
траектории процессов
математическое ожидание и дисперсию
Процесс является случайным процессом X(t), если значение его при любом фиксированном t = t0 является
числом
непрерывной функцией
постоянной функцией
случайной величиной
Формула 
верна, если распределение 
- симметрично
- симметричноверна
неверна
верна, если может принимать только положительные значения
может принимать только положительные значенияСреднее число занятых каналов для системы масcового обслуживания с неограниченной очередью, n - число каналов, l - интенсивность потока заявок, m - интенсивность потока обслуживания, r - загрузка системы, pn - вероятность того, что заняты все каналы и нет очереди; равно
z = r
z = lpn
z = mpn
В одноканальной системе с ограниченной очередью длиной m, интенсивностью потока заявок l, интенсивностью потока обслуживания m, загрузкой системы r и вероятностью p0 - того, что система свободна, r - среднее число заявок в очереди показатели эффективности работы системы массового обслуживания следующие: вероятность того, что система свободна, такова
p0 = (1 + r + r2 + … + rm +1)-1
p0 = (1 + r2 + r4 + … + r2m)-1
p0 = 1 + r + r2 + … + rm +1
p0 = (1 + rm)-1
При проверке гипотезы о виде распределения, когда параметры его неизвестны, применяется
критерий χ2 с заменой неизвестных параметров на эмпирические значения и считается, что число степеней свободы на единицу меньше, чем число слагаемых
критерий χ2 с заменой неизвестных параметров на эмпирические значения и уменьшается число степеней свободы
критерий Колмогорова
критерий Фишера-Снедекора
Для суммы случайных величин математическое ожидание равно
сумме их математических ожиданий
частному их математических ожиданий
произведению их математических ожиданий
разности их математических ожиданий
Некоррелированность случайных величин из их независимости
иногда следует
следует
иногда не следует
не следует
Сумма вероятностей 
, составляющих закон распределения двумерного дискретного случайного вектора, равна
, составляющих закон распределения двумерного дискретного случайного вектора, равна1
0
0,5
Формула D(-X) = D(X)
верна
неверна
верна только для положительных Х
верна только для отрицательных Х
Нить на ткацком станке обрывается в среднем 0,3 раза в течение часа работы станка. Вероятность того, что нить оборвется трижды за час, равна
В таблице приведено распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали: 
Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали, эмпирическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение составляют соответственно
Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали, эмпирическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение составляют соответственно7,4; 59; 7,68
7,4; 4,24; 2,06
7; 57; 7,55
740; 424; 206
Если имеется система с n каналами, с отказами, интенсивностью потока заявок l и интенсивностью потока обслуживания m, то ей соответствует граф состояний
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин 
и 
равна
и равна
Для построения доверительного интервала для дисперсии надо пользоваться таблицами
распределения Стьюдента
распределения Фишера
нормального распределения
распределения Пирсона (
)
)Случайная величина Х имеет нормальное распределение с плотностью распределения 
. Тогда ее числовые характеристики МХ, DX и 
равны соответственно
. Тогда ее числовые характеристики МХ, DX и равны соответственно36; 1: 6
1; 36; 6
1; 6; 36
6; 1; 1
Формула для расчета тангенса угла между линиями регрессии через их коэффициенты регрессии ayx и axy имеет вид
Среднеквадратическое отклонение произведения случайной величины Х на постоянную С равно
Формула для вычисления вероятности суммы двух случайных событий имеет вид:
Р(А+В) = Р(А)
Р(В)
Р(В)Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Р(А+В) = Р(А) + Р(В/А)
Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равны соответственно 5 и 15. Тогда ее функция распределения имеет вид
В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса. 
Это число:
Это число:х = 0,4
х = 0,5
х = 0,3
х = 0,2
Числовые характеристики случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение с параметрами 
таковы:
таковы:
Эмпирический коэффициент корреляции по выборке объема n=51 равен r=0,1. Значение статистики, с помощью которой проверяется гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, равно ______________. На уровне значимости 0,05 гипотеза о том, что генеральный коэффициент корреляции равен нулю, ____________
5,1; не верна
5,1; верна
0,7; не верна
0,7; верна
Две независимые случайные величины и 
имеют дисперсии 
и 
, при этом 
равно
и имеют дисперсии и , при этом равно1
5
6
2,5
Для проверки гипотезы о типе распределения вычислили эмпирическую функцию распределения - накопленные относительные частоты. Они оказались следующими
0,1; 0,25; 0,39; 0,54; 0,78; 0,95; 1
0,1; 0,25; 0,39; 0,54; 0,78; 0,95
0,1; 0,25; 0,39; 0,54; 0,78; 0,95; 1,2
0,25; 0,1; 0,54; 0,39; 0,78; 1
Выборочное среднее для статистического распределения выборки с числом вариантов m 
находится по следующей формуле:
находится по следующей формуле:
В многоканальной системе массового обслуживания n каналов, длина очереди ограничена величиной m; загрузка системы - r; вероятность того, что система свободна, - p0; l и m соответственно интенсивности потока заявок и потока обслуживания. Вероятность отказа системы
Однородным марковский процесс называется, если
вероятности состояний являются непрерывными функциями времени
случайные величины 
ограничены
ограниченывероятности перехода за единицу времени не зависят от того, где на оси времени происходит переход
вероятности перехода не зависят от времени
Формула D(-X)=D(X)
верна
никогда не верна
верна только для отрицательных Х
верна только для положительных Х
Для достоверного события вероятность равна
1
любому числу
0,75
Семейство реализаций случайного процесса может быть получено в результате
вычисления числовых характеристик случайного процесса
построения графиков распределений
нескольких стохастических экспериментов
составления конечномерных распределений
Если каждый элемент выборки объема n: х1, х2, …, хn. увеличить на 5 единиц, то
выборочное среднее 
не изменится, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 5
не изменится, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 5выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится тоже на 5
увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится тоже на 5выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменится
увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменитсявыборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 25
увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 25Вероятность потерь по времени системы с отказами, где t3 - отрезок времени, когда система была полностью занята, за время наблюдения t, есть
Если выборка группируется для проверки гипотезы о виде распределения по критерию χ2 и если в какие-то интервалы группировки попало слишком мало наблюдений, необходимо
объединить такие интервалы с соседними
увеличить длину всех интервалов группировки
добавить в такие интервалы фиктивные наблюдения
уменьшить величину интервалов группировки
Формула для вычисления статистики, с помощью которой по эмпирическому значению коэффициента корреляции r и числу испытаний n проверяется значимость коэффициента корреляции, имеет вид
Квантиль распределения Кр уровня Р непрерывной случайной величины с функцией распределения F(x) определяется как решение уравнения
Проведено 10 измерений и по ним вычислена эмпирическая дисперсия S2=4,5. Несмещенная оценка для генеральной дисперсии равна
5
4,05
5,06
1,5
Для проверки гипотезы о независимости признаков А и В произведена выборка и значения признака А сгруппированы в r интервалов, а признака В - в s интервалов. Проверка гипотезы производится с помощью статистики имеющей распределение χ2, число степеней свободы которого равно
(r-1)s
rs
(r-1)(s-1)
r(s-1)
Для простейшего потока с интенсивностью l среднее число событий, наступающих за время t, вычисляется по формуле
MX(t) = 
MX(t) = 
MX(t) = e-lt
MX(t) = l × t
Дано статистическое распределение выборки: 
Выборочное среднее 
и выборочная дисперсия S2 равны
Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны = 1, S2 = 4,4 = 1, S2 = 17,6 = 0, S2 = 176 = 0, S2 = 17,6Случайная величина Х равномерно распределена на 
. Тогда вероятность попасть в интервал 
будет равна
. Тогда вероятность попасть в интервал будет равна
Правильным является следующее соотношение:
M(X - Y) = M(X) + M(Y)
M(X - Y) = M(X) - M(Y)
Формула для вычисления математического ожидания функции Y = g(X) от непрерывной случайной величины Х , имеет вид
MY = 
MY =
MY =
MY = 
Вариационный ряд и размах вариационного ряда для выборки объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3 равны:
5, 4, 3, 3, 1, 0, -2; размах равен 7
-2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; размах равен 7
0, 1, 3, 4, 5, -2, 3; размах равен 5
-2, 3, 3, 0, 1, 4, 5; размах равен 3
Вероятность события может быть равна
любому положительному числу
любому числу
любому числу из отрезка [0,1]
любому числу отрезка [-1,1]
Пуассоновский процесс - это
поток случайных событий, где промежуток времени между соседними событиями распределен по показательному закону
случайный процесс, у которого плотности вероятности перехода 
равны либо 0,5, либо 0
равны либо 0,5, либо 0случайный марковский процесс с дискретными значениями и вероятностями состояний 
простейший поток случайных событий, у которого число событий , наступивших за время 
, является марковским процессом
, наступивших за время , является марковским процессомИз всех значений выборки для упрощения счета вычли 1280, при этом эмпирическое среднее
уменьшится на 1280
увеличится на 1280
не изменится
уменьшится в 1280 раз
Случайная величина Х распределена по нормальному закону, ее математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно 20. Плотность распределения Х имеет вид
