Многомерные распределения и предельные теоремы
Случайные величины X и Y называют независимыми, если функция распределения вектора (X,Y) F(x,y) может быть представлена в виде
F(x,y) = FX(x)×FY(y)
F(x,y) = FX(x)×[1 - FY(y)]
F(x,y) = FX(x)×(FY(y))-1
F(x,y) = FX(x) + FY(y)
Х - случайная величина, МХ = 2, DX = 3. По неравенству Чебышева P{çX – 2ú ³ 2} £ ? Ответ дайте дробью в виде a/b
Дисперсия 
-распределения с n степенями равна
-распределения с n степенями равна2n
n
0
n2
f(x,y) - плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины. 
равен
равен0,5
1
0
2
Случайные величины X и У независимы cov(X,Y) - ковариация случайных величин X и Y r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y
r(X,Y)
DX + DY
r(X,-2Х + 5)
-1
D(X + Y)
0
Х - случайная величина, МХ = 2, DX = 2. По неравенству Чебышева P{çX – 2ú ³ 2} £ ? Ответ дайте дробью в виде a/b
X – случайная величина, имеющая -распределения с 4 степенями свободы. DХ - ? Ответ дайте числом
-распределения с 4 степенями свободы. DХ - ? Ответ дайте числомcov(X,Y) - ковариация случайных величин X и Y r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y
r(X,Y)
DX + DY + 2cov(X,Y)
cov(X,Y)
M[(X – mx)(Y – my)]
D(X + Y)
Pij определяют закон распределения двумерной дискретной случайной величины. i = 1,2,…m; j = 1,2,…n; Какие из утверждений верны
Pij ³ 0
= 1
= 1= 0,5Если случайные величины независимы, то ковариация равна
-1
1
¥
0
Плотность вероятности перехода lij = 
определяется для
определяется длямарковского процесса с непрерывным временем и с дискретными состояниями
любого случайного процесса
марковского процесса с дискретным временем и с дискретными состояниями
пуассоновского процесса
X и Y - две случайные величины 
, 
, 
, 
, 
D(2Х + 3У) - ? Ответ дайте числом.
, , , , D(2Х + 3У) - ? Ответ дайте числом.MX = 2, DX = 3; MY = 1, DY = 2; X и У независимы
D(X + Y)
3
D(X – 2Y)
11
М(X + Y)
5
f(x,y) - плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины. равен ____ (ответ дайте числом)
равен ____ (ответ дайте числом)Значение функции распределения двумерной случайной величины при равенстве аргументов F(+¥, +¥) есть
1
0
+ ¥
0,5
Имеем однородную цепь Маркова с двумя состояниями H1 и Н2. Матрица переходных вероятностей (pij) = 
. Р1 и Р2 - стационарные вероятности. Р2 - ? Ответ дайте в виде дроби a/b
. Р1 и Р2 - стационарные вероятности. Р2 - ? Ответ дайте в виде дроби a/bX и Y - две случайные величины МХ = - 5, МУ = -3. М(2Х - 5У) - ? Ответ дайте числом.
Пусть случайные величины Y и X связаны зависимостью Y = -7X, тогда коэффициент корреляции r(X,Y) равен
–1
–7
+1
0
Утверждение о том, что функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией
несправедливо
справедливо, если случайная величина дискретна
справедливо, если случайная величина непрерывна
всегда справедливо
Имеем однородную цепь Маркова с двумя состояниями H1 и Н2. Матрица переходных вероятностей (pij) = 
. Р1 и Р2 - стационарные вероятности. Р1 - ? Ответ дайте в виде дроби a/b
. Р1 и Р2 - стационарные вероятности. Р1 - ? Ответ дайте в виде дроби a/bИмеем однородную цепь Маркова с двумя состояниями H1 и Н2. Матрица переходных вероятностей (pij) = . Р1 и Р2 - стационарные вероятности. Р1 - ? Ответ дайте в виде дроби a/b
. Р1 и Р2 - стационарные вероятности. Р1 - ? Ответ дайте в виде дроби a/bF(x,y) - функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). F(-¥,5) - ? Ответ дайте числом.
F(x,y) - функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). F(-¥,5) - ? Ответ дайте числом.
Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы D(X + Y) равна
0
DX + DY
DX – DY
cov(X,Y)
r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y; Какие из утверждений всегда верны?
-1 £ r(X,Y) £ 1
0 £ r(X,Y) £ +¥
êr(X,Y)ú £ 1
0 £ r(X,Y) £ 1
Формула D(X + Y) = DX + DY
всегда верна
верна для зависимых X и Y
верна для независимых X и Y
неверна всегда
Случайная величина Y линейно зависит от случайной величины X (Y = X + 2), тогда коэффициент корреляции r(X,Y) равен
–1
0
1
2
Для однородных цепей Маркова матрица переходов
зависит от разности времен
не зависит от времени
не содержит нулевых элементов
имеет диагональный вид
Х - случайная величина, имеющая -распределение с 4 степенями свободы sХ – среднеквадратическое отклонение
-распределение с 4 степенями свободы sХ – среднеквадратическое отклонениеsХ
4
DX
8
МX
2
Какие из неравенств верны
P{çX – MXú < a} ³ 1 – 
P{çX – MXú < a} £
P{çX – MXú ³ a} £
P{çX – MXú ³ a} ³ ;
;X и Y - две независимые случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4 D(Х - У) - ? Ответ дайте числом.
Случайная величина X имеет математическое ожидание 0, дисперсию 1, тогда вероятность того, что величина X отклонится от нуля не меньше чем на 3, имеет оценку сверху
1/3
1
1/9
1/27
Математическое ожидание суммы случайных величин равно ___ их математических ожиданий
произведению
иногда не равно сумме
разности
сумме
Случайные величины X и У независимы cov(X,Y) - ковариация случайных величин X и Y r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y
r(X,Y)
DX + DY
r(X,Х + 5)
1
D(X + Y)
0
F(x,y) – функция распределения двумерной случайной величины (Х,У); FX(x) – функция распределения случайной величины Х; FУ(x) – функция распределения случайной величины У; Х и У независимы Какие из утверждений верны?
F(x,y) ≠ FX(x)×FY(y)
F(-¥,5) = 0
F(x,y) = FX(x)×FY(y)
F(x,y) = FX(x) + FY(y)
F(x,y) - функция распределения двумерной случайной величины (X,Y) f(x,y) - плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y)
F(¥,¥)
0
f(x,y)
F(-¥,y)
1
Проводим 100 испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании р = 0,5. S100 – число успехов. Ф(х) = 
P{ S100 £ 50}
1 – Ф(2)
P{ S100 £ 60}
Ф(2)
P{S100 ³ 60}
0,5
Берём 100 деталий. Вероятность детали быть бракованной равна 0,03. Х – число бракованных деталей.
P{ Х = 0}
1 – 
P{ Х £ 5}
P{ Х > 2}
e-3
Берём 100 деталий. Вероятность детали быть бракованной равна 0,03. Х – число бракованных деталей.
P{ Х = 5}
4,5×e-3
P{ Х = 0}
e-3
P{ Х = 3}
×e-3cov(X,Y) - ковариация случайных величин X и Y; r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y; X и Y независимы. Какие из утверждений верны?
r(X,Y) = 0
r(X,Y) = 0,5
cov(X,Y) = 0
cov(X,Y) = 1;
f(x,y) – плотность вероятности случайного вектора (X,Y), fX(x) и fY(y) – плотности вероятностей координат этого вектора, причем f(x,y) ≠ fX(x)× fY(y)
зависимость Х и У
DX + DY – 2cov(X,Y)
некоррелированность Х и У
Не следует
D(X - Y)
Следует
Дисперсия суммы двух случайных величин D(X + Y) равна
DX×DY
DX + DY
DX + DY + 2cov(X,Y)
DX – DY
f(x,y) - плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины. Какие из утверждений верны?
= 0= 1
= 0= 0,5Проводим 400 испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании р = 0,5. S400 – число успехов. Ф(х) =
P{190 £ S400 £ 210}
Ф(2) – Ф(-2)
P{170 £ S400 £ 230}
Ф(3) – Ф(-3)
P{180 £ S400 £ 220}
Ф(1) – Ф(-1)
f(x,y) - плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины. Какие из утверждений верны?
= 0,5f(x,y) £ 0
= 1f(x,y) ³ 0
X и Y - две независимые случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4 D(Х + У) - ? Ответ дайте числом.
(aij) – ковариационная матрица случайного вектора (X1,X2, X3). X1,X2, X3 – независимы и имеют равные математические ожидания и дисперсии. MXi = 1, DXi = 2. а22 = ? Ответ дайте числом.
Из некоррелированности случайных величин Х и У
независимость
DX + DY
cov(X,Y) = 0
следует
D(X – Y) =
не следует
F(x,y) - функция распределения двумерной случайной величины (X,Y) f(x,y) - плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y)
f(x,y)
Î [0;1]
F(¥,¥)
1
F(х,y)