Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных
-окрестностью точки 
на плоскости называетсязамкнутый круг
круг радиуса 
круг с центром в 
и радиуса 
, причем окружность круга не относится к -окрестности
и радиуса , причем окружность круга не относится к -окрестностизамкнутый круг радиуса
Экстремумом функции 
будет
будетдве точки 
точка 
- максимум
- максимумточка, где 
единственная точка - минимум
- минимумЧастная производная 
функции 
равна
функции равна
0
Точка движется по закону 
, где 
и 
- известные функции времени 
и 
. Тогда 
есть ..., а 
есть ...
, где и - известные функции времени и . Тогда есть ..., а есть ...- скорость, 
- ускорение
и - векторы касательной и нормали- мгновенная векторная скорость движения (скорость точки в момент ), 
- векторное ускорение в момент 
- касательная, - нормальПолный дифференциал 
есть главная часть полного приращения 
потому, что
есть главная часть полного приращения потому, что
б.м.
равенГрадиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
0
Интеграл 
равен повторному интегралу
равен повторному интегралу
Градиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
0
Точка 
является точкой максимума функции 
, если
является точкой максимума функции , еслизначение 
больше всех значений функции 
больше всех значений функции найдется такая -окрестность 
, что значение больше любого значения , принятого в этой окрестности
-окрестность , что значение больше любого значения , принятого в этой окрестности
найдется такой интервал, содержащий , что значение больше любого значения , принятого в этом интервале
, что значение больше любого значения , принятого в этом интервалеКоэффициенты 
и 
в формуле для полного приращения дифференцируемой в точке функции 
равны
и в формуле для полного приращения дифференцируемой в точке функции равныпроизвольным числам
и - б.м. высшего порядка относительно 
Пространственная кривая задана параметрическими уравнениями 
. Ее векторным уравнением будет
. Ее векторным уравнением будет
Стационарной точкой функции 
будет
будет(0, 0)
(-1, -1)
(1, -1)
(1, 1)
Производная 
функции 
в направлении 
в точке равна
функции в направлении в точке равна
0
Переменная величина 
есть функция 
переменных, если
есть функция переменных, есликаждой точке 
из множества 
, находящегося в 
, поставлено в соответствие определенное значение и, наоборот, каждому значению соответствует определенная точка 
из множества , находящегося в , поставлено в соответствие определенное значение и, наоборот, каждому значению соответствует определенная точка каждому значению соответствует определенная точка из
соответствует определенная точка из между точками и значениями установлено взаимно однозначное соответствие
и значениями установлено взаимно однозначное соответствиекаждой точке 
некоторого множества , находящегося в , по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение 
, 
некоторого множества , находящегося в , по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение , Кривая задана уравнением 
. Ее нормальной плоскостью в точке, отвечающей значению t = 1, будет плоскость с уравнением
. Ее нормальной плоскостью в точке, отвечающей значению t = 1, будет плоскость с уравнением
Стационарной точкой функции 
будет
будет(0, 1)
(1, 0)
(2, -1)
(0, 0)
Неявная функция задана уравнением 
. Тогда частная производная 
равна
. Тогда частная производная равна
Бинормаль к кривой в некоторой точке - это
плоскость, перпендикулярная касательной прямой
другая нормаль
прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нормали
прямая в нормальной плоскости
Модуль 
в некоторой точке равен
в некоторой точке равенкривизне кривой в этой точке
единице
кручению в этой точке
средней кривизне
Градиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
Полный дифференциал 
функции 
в точке 
равен
функции в точке равен
Необходимым условием экстремума функции в точке 
является
в точке являетсяусловие
то, что производная в этой точке равна нулю
равенство нулю частных производных , если они существуют в точке
, если они существуют в точке то, что больше или меньше всех значений функции
больше или меньше всех значений функцииПроизводная функции 
в точке по направлению вектора 
равна
в точке по направлению вектора равна
Функция 
имеет в точке
имеет в точке(-2, -3) - минимум
(2, 3) - максимум
(2, 3) - стационарную точку
(-2, -3) - максимум
Полный дифференциал функции 
равен
функции равен
Полным дифференциалом функции называется выражение
называется выражение
Средней кривизной кривой 
(плоской или пространственной) на участке между ее точками 
и 
называется
(плоской или пространственной) на участке между ее точками и называетсяотношение угла между касательными в точках и 
к 
и к абсолютная величина угла между касательными прямыми в точках и
и абсолютная величина отношения угла между касательными прямыми в точках и к длине дуги 
и к длине дуги угол между касательными в и
и Градиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
0
. Тогда градиент 
в точке (3, 4) равен
Кривая задана векторным уравнением 
, где 
- длина дуги. Тогда 
при некотором 
есть
, где - длина дуги. Тогда при некотором естьвектор, идущий по главной нормали
нормаль к кривой
вектор, идущий по касательной
вектор, лежащий в нормальной плоскости
равенПолный дифференциал функции 
в точке 
равен
функции в точке равен6
Частная производная 
функции 
равна
функции равна
Частная производная 
функции 
равна
функции равна
Функция 
в точке (-1, -4)
в точке (-1, -4)не имеет минимума
имеет максимум
не имеет экстремума
имеет минимум
Производная 
функции 
в точке 
в направлении, задаваемом вектором 
, равна
функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна
, 
, 
, 
; направляющие косинусы 
: 
, 
, 
)
Множество точек плоскости называется открытой областью, если
точек плоскости называется открытой областью, есликаждая точка является для нее внутренней и любые две точки 
и 
из можно соединить непрерывной линией (ломаной, например), целиком находящейся в 
является для нее внутренней и любые две точки и из можно соединить непрерывной линией (ломаной, например), целиком находящейся в любые две точки и из можно соединить ломаной
и из можно соединить ломанойкаждая точка является внутренней для
является внутренней для любые две точки 
и 
из можно соединить ломаной, состоящей из точек
и из можно соединить ломаной, состоящей из точек Частная производная функции 
равна
функции равна
Градиент функции 
в точке равен
в точке равен
Криволинейный интеграл от вектор-функции 
вдоль кривой 
, равен определенному интегралу
вдоль кривой , равен определенному интегралу
Градиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
0
3
Полный дифференциал функции 
равен
функции равен
Производная функции 
в направлении вектора 
в точке равна
функции в направлении вектора в точке равна
0
Функция 
в точке (1, -4) имеет точку
в точке (1, -4) имеет точкумаксимума
экстремума
стационарную
минимума
Частные приращения функции в точке равны
в точке равны
и 
Производная функции 
в точке (1, 2) по направлению биссектрисы первого координатного угла равна
в точке (1, 2) по направлению биссектрисы первого координатного угла равна
Неявная функция задана уравнением 
. Тогда производная 
равна
. Тогда производная равна
Производная функции 
в точке по направлению биссектрисы первого координатного угла равна
в точке по направлению биссектрисы первого координатного угла равна
Функция 
имеет минимум, равный 0
имеет максимум, равный 0
не имеет экстремума
имеет экстремум в точке (0, 0)