Основы математического анализа
Какие формулы верны? a) grad(2x + y) = 2
+ 
, b) grad(2x - 2y) = 2- 2, c) grad(x - y) = + , d) grad(x+2y)=i/2+j
+ , b) grad(2x - 2y) = 2- 2, c) grad(x - y) = + , d) grad(x+2y)=i/2+jb
d
c
a
Стационарная точка для функции z = xy имеет координаты Напишите координаты точки (х,у), где х и у - числа в виде «(а, b)»
Частное решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = -3cosx равно
3sinx
sinxcosx3cosx
Частное решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = 5x + 1 ищется в виде
xex
Ax + B
Aex + B
A
Укажите соответствие между функциями и их частными производными
1
2x
0
Частное решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = -4cos3x ищется в виде
Ae3х
Acos3x + Bsin3x
Acosx + Bsinx
Acos3x
Общее решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = 0 имеет вид
C1ex + C2
(C1 + C2x) ex
(C1 + C2x) e-x
C1ex + C2 e-x
Укажите соответствие между функциями и их полными дифференциалами
3x + 2y
3x2dx + 3y2dy
x2 + y2
2xdx + 2ydy
x3 + y3
3dx + 2dy
Какие утверждения верны? a) общее решение дифференциального уравнения у² - 6у¢ + 9у = 0 имеет вид: С1 + С2е3x b) общее решение дифференциального уравнения у² - 2у¢ + у = 0 имеет вид: (С1 + С2x)ех c) общее решение дифференциального уравнения у² - 4у¢ + 4у = 0 имеет вид: (С1 + С2x)е2x d) общее решение дифференциального уравнения у² - 8у¢ + 16у = 0 имеет вид: С1 + С2е4x
d
c
b
a
Стационарная точка для функции z = x2 – y2 имеет координаты
(0, 1)
(1, 1)
(0, 0)
(-1,1)
Общее решение дифференциального уравнения y²(x) = 0 имеет вид
C1 + C2x
C1ex + C2x
C2 + C1x2
x2 + C
Какие утверждения верны? a) Задача Коши у² + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 2 имеет решение y = cosx b) Задача Коши у² + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 2 имеет решение y = 2sinx c) Задача Коши у² - у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 2 имеет решение y = ex – e-x d) Задача Коши у² - у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 2 имеет решение y = 2cosx
a
d
b
c
равен
Частное решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = 3ex ищется в виде
x2 ex
A x2 ex
(Ax + B) ex
A ex
Область определения функции 
есть множество
есть множество{(x, y): x2 + y2 ³ 2}
{(x, y): x2 + y2 > 2}
{(x, y): x2 + y2 < 4}
{(x, y): x2 + y2 £ 4}
Линии уровня функции z = ln(x2 – 3y2) имеют вид
x2 – 3y2 = C, C > 0
ln(x2 – 3y2) = 1
x2 – 3y2 ³ 1
x2 – 3y2 £ 1
Какие функции имеют точку (0,0) стационарной: a) z = x2 + y2, b) z = xy, c) z = (x + 1)(y-1), d) z=x-y
b
d
c
a
Частное решение неоднородного разностного уравнения y(x + 2) – 4y(x + 1) + 4y(x) = 3x равно
A2x
3x
2x
равен
Полный дифференциал функции z = xy в точке P0(1,1) равен
dx + dy
dx dy
y dx + x dy
(x + y) dx + 2dy
Какие утверждения верны? a) градиент функции u = x + y - z в точке M(1,1,1) равен + + 
b) градиент функции u = x2 + y2 - z2 в точке M(1,1,1) равен 2+ 2- 2 c) градиент функции u = x2 + y2 + z2 в точке M(1,1,1) равен 2+ 2+ 2 d) градиент функции u = x2 + y2 + z2 в точке M(1,1,1) равен 2xi+2yj+2z
+ + b) градиент функции u = x2 + y2 - z2 в точке M(1,1,1) равен 2+ 2- 2 c) градиент функции u = x2 + y2 + z2 в точке M(1,1,1) равен 2+ 2+ 2 d) градиент функции u = x2 + y2 + z2 в точке M(1,1,1) равен 2xi+2yj+2zb
c
a
d
Какие утверждения верны? a) общее решение дифференциального уравнения y² + y = 1 имеет вид С1cosx + С2sinx + 1 b) общее решение дифференциального уравнения y² - y = 1 имеет вид С1ex + С2 e-x - 1 c) общее решение дифференциального уравнения y² + y = 1 имеет вид С1ex + С2 e-x + 1 d) общее решение дифференциального уравнения y² - y = 1 имеет вид С1cosx + С2sinx + 1
b
d
a
c
Какие дифференциальные уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными? a) 
, b) 
, c) 
, d)
, b) , c) , d)a
d
c
b
Общее решение дифференциального уравнения y²(x) + y(x) = 1 имеет вид
C1cosx + C2sinx + 1
C1cosx + C2sinx
C1ex + C2e-x + 1
C1ex + C2e-x + 4
равен Напишите числоКакие утверждения верны? a) частное решение уравнения у² - 2у¢ + у = 3sinx ищется в виде: Acosx + Bsinx b) частное решение уравнения у² - 4у¢ + 4у = 3sinx ищется в виде: Acosx + Bsinx c) частное решение уравнения у² - 2у¢ + у = 3sinx ищется в виде: Ax + B d) частное решение уравнения у² - 4у¢ + 4у = 3sinx ищется в виде: Asinx + B
c
b
a
d
Какие дифференциальные уравнения первого порядка являются однородными уравнениями? a) 
b) 
, c) 
,d) 
b) , c) ,d) a
d
b
c
Укажите соответствие между функциями f(x,y,z) и их векторами-градиентами в точке (1,1,1)
x2 + y2 + z2
X2 - y2 - z2
x2 + y2 - z2
Общее решение разностного уравнения y(x + 2) – 4y(x + 1) + 4y(x) = 0 имеет вид
C 2x
(C1 + C2x) 2x
C1 + C2 x 2-x
C1 2x + C2 2x
Частное решение неоднородного разностного уравнения y(x + 2) – 4y(x + 1) + 4y(x) = 2 равно
2
3
4
0
Общее решение дифференциального уравнения ydy – xdx = 0
y = x + C
y = x2 + C
y = x3
Полный дифференциал функции z = xy равен
xy dx dy
y dx +x dy
(x + y) dx + (y + x) dy
x dx + y dy
Какие утверждения верны? a) характеристическое уравнение для у² - 2у¢ + у = 0 имеет вид: r2 – 2r + 1 = 0 b) характеристическое уравнение для у² - 2у¢ + у = 0 имеет вид: r2 – 2r + 2 = 0 c) характеристическое уравнение для у² - 3у¢ + у = 0 имеет вид: r2 – 3r + 1 = 0 d) характеристическое уравнение для у² + 3у = 0 имеет вид: r2 + 3r = 0
a
d
c
b
функции z = x2 + y равна Напишите число.
b) 
, c) 
d) 
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их решениями.
- x(lnx + C)
x(lnx + C)
x(2lnx + C)
Укажите соответствие между функциями и их стационарными точками
(x – 1)(y – 1)
(1,0)
x2 + (y – 1)2
(0,1)
(x – 1)2 + y2
(1,1)
равенУкажите соответствие между дифференциальными уравнениями и корнями их характеристических уравнений.
y² + y = 0
r1 = -1 – 2i, r2 = -1 + 2i
y² - 2y¢ + 5y = 0
r1 = 1 – 2i, r2 = 1 + 2i
y² + 2y¢ + 5y = 0
r1 = i, r2 = -i
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их решениями.
Достаточное условие минимума в стационарной точке P0(x0,y0) для функции z = f(x,y)
0
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их решениями.
y¢ - y = ex
e2x + Cex
y¢ - y = 2ex
(2x + C)ex
y¢ - y = e2x
(x + C)ex
Полный дифференциал функции z = x2 + y2 в точке P0(2,2) равен
4dx + 2dy
4 (dx +dy)
dx + dy
2 (dx + dy)
Область определения функции 
есть множество
есть множество{(x,y): y ³ -3x2}
{(x,y): y > -3x2}
{(x,y): 3x2 + y > 1}
{(x,y): y < -3x2}
Укажите соответствие между функциями и их частными производными
0
2
6y