Элементы теории функций и функциональный анализ
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:


{
; 1}

{-6;-1}
{-1;-
}

{1;6}
Если для двух норм
и
на конечномерном пространстве
существуют такие
и
, что выполнимо двойное неравенство
, то эти нормы называются _________ (какими?)






Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве
определяется по формуле: (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx.Тогда скалярное произведение элементов sinх и cosx в пространстве
равно ___________ (укажите ответ в виде десятичной дроби)



__________ ( какие?) две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны (заполните пробел одним словом)
Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при
<
, где В =
. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
cost×sins×x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем









Уравнение х(t) -
cos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением Фредгольма _______ (какого?) рода (укажите порядок словом)

Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 2х и
в пространстве L2 [0,2] равно


4е4
4е2
е4 - 1
е2 - 1
Завершите определение: совокупность всех открытых подмножеств множества
называется____________ ( чем?) на множестве 


Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В =
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] B равна





Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В =
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна _______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)

Норма элемента f(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле:
= 
. Тогда норма элемента sinx в пространстве С [-
,
] равна









Пусть
- непрерывная на
функция. Оператор
отображает
. Норма этого оператора равна








Известно, что расстояние от точки
линейного нормированного пространства
до гиперплоскости
находится по формуле
. Если 
и
, то
равно








sin1


1
В пространстве
найдите решение интегрального уравнения
, если
,
,
,
(укажите число)






Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В =
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] B равна





Пусть
евклидово, или унитарное, пространство со скалярным произведением. Известно, что оператор
самосопряженный. Укажите возможные виды матрицы этого оператора: матрица


эрмитова
симметрична
диагональна
треугольная
Уравнение x(t) - 
x(s)ds = et является интегральным уравнением Фредгольма _____ (какого?) рода (укажите порядок словом)


Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В =
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] B равна

1,5
1,9
0,5
2,5
Укажите соответствие между интегральным уравнением и его видом
х(t) -
cos(t+2s)x(s)ds = cos2t

уравнение Фредгольма первого рода

уравнение Вольтерра первого рода

уравнение Фредгольма второго рода
Если
, то любое нормированное пространство _________ одновременно метрическим пространством (заполните пробел для верного утверждения)

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства х2siny < 1 является множество решений
х2siny > 1
х2siny £ 1
х2siny ³ 1
х2siny = 1
Имеем линейное нормированное пространство
и определенный на
функционал
является



ограниченным
непрерывным
линейным
вполне непрерывным
Какое условие на
задано в определении сжатого отображения: сжатое отображение - отображение
метрического пространства
в себя, для которого существует
, меньшее____________ (укажите ответ словом), такое, что для любых
выполнено 






Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при
<
, где В =
. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем





7
6
9
8
Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) =
; (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx ;
=
. Тогда косинус угла между элементами x2 и x3 в пространстве L2 [0,2] равен








Интегральное уравнение х(t) -
ln(t2s - s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтерра _____________ рода (ответ – словом)

Норма элемента f(x) в пространстве
определяется по формуле:
=
. Тогда норма элемента
в пространстве
равна ___________ (укажите целое число)





Рассмотрим самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве
:
для
. Укажите варианты для области значений оператора:



всегда замкнута
может быть замкнутой
может быть незамкнутой
всегда открыта
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства
при sinx равен ___ (укажите целое число)

Рассматривается линейный самосопряженный вполне непрерывный оператор
. Укажите верные утверждения:

если оператор A ненулевой , то он имеет по крайней мере одно отличное от нуля собственное значение
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны
собственное подпространство
такого оператора конечномерно при 


в пространстве
существует единственный базис из собственных векторов

Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле:
=
. Тогда норма элемента x4 в пространстве L2 [-1,1] равна


3
1


Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:


{-0,5;
}

{
; 0,5}

{2;7}
{-7;-2}
Укажите, какие условия определяют линейность оператора
: А) его область определения
является подпространством в
; В) для любых 
; С) для любых
и любого числа 
; D) для любых 











одновременно A), B) и С)
все
только A) и D)
каждое из B),С) и D)
Пусть оператор
линейный. Если он вполне непрерывный, то каждое комплексное число является для него либо _________, либо _________

собственным числом
регулярным числом
характеристическим числом
нормой
Неравенство
превращается в неравенство треугольника при
, равном __ (укажите целое число)


Найдите норму линейного ограниченного оператора
,
(укажите число)


Укажите верные утверждения. Если
- сжатое отображение полного метрического пространства
в себя и
- коэффициент сжатия, то
имеет




для любых 



для любого
последовательность
сходится к 



справедлива оценка 

единственную неподвижную точку 

Ортогональная система векторов называется полной, если ряд Фурье любого элемента
сходится к
в смысле


нормы
фундаментальной сходимости
условной сходимости
абсолютной сходимости
Норма оператора
, действующего в
, равна _______ (укажите число)


Пусть
,
. Задача о собственных значениях
и собственных функциях
данного оператора равносильна решению дифференциального уравнения
. Установите соответствия между собственными значениями и собственными функциями














Имеем линейное нормированное пространство
и определенный на
функционал
является



ограниченным
линейным
вполне непрерывным
непрерывным
Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:


(-¥,-6) È (-6,-1) È (-1,+ ¥)
(-¥,1) È (1,6) È (6,+ ¥)
(-¥,-1) È (-1,-
) È (-
,+ ¥)


(-¥,
) È (
,1) È (1,+ ¥)


Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 =
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:

f(x) = -7P0 + P1 - 4P2
f(x) = -6P0 + P1 - 5P2
f(x) = -5P0 + P1 - 6P2
f(x) = -6P0 + 2P1 - 5P2
Множество всех собственных векторов данного оператора, отвечающих данному собственному значению
, являются линейным подпространством, называемым _________ (каким?) подпространством

Пусть
и
соответственно замкнутое и открытое множество топологического пространства
. Тогда (укажите верные утверждения): A)
замкнуто , B)
открыто





только А)
только В)
оба верны
оба неверны
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен
0
-5
-4
-2
Ортогональная система состоит из векторов
линейно-независимых
векторное произведение любых двух векторов равно нулю
скалярное произведение любых двух векторов равно нулю
имеющих равные модули
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства 
при sin2x равен ____ (укажите целое число)


Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q =
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx - 1 отрезка [-
;
] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия





-


Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:


{-
; 0,1}

{-0,1;
}

{-10;3}
{-3;10}