Элементы теории функций и функциональный анализ

Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = image258.gifimage259.gif:
{image239.gif; 1}
{-6;-1}
{-1;-image239.gif}
{1;6}
Если для двух норм image151.gifи image152.gifна конечномерном пространстве image003.gifсуществуют такие image153.gifи image154.gif, что выполнимо двойное неравенство image155.gif, то эти нормы называются _________ (какими?)
Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве image318.gifопределяется по формуле: (f(x),g(x)) = image186.giff(x)×g(x)dx.Тогда скалярное произведение элементов sinх и cosx в пространстве image325.gifравно ___________ (укажите ответ в виде десятичной дроби)
__________ ( какие?) две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны (заполните пробел одним словом)
Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - limage186.gifK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при image246.gif< image241.gif, где В = image247.gif. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - limage248.gifcost×sins×x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
image188.gif
image235.gif
image249.gif
image250.gif
Уравнение х(t) -image100.gifcos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением Фредгольма _______ (какого?) рода (укажите порядок словом)
Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) = image186.giff(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 2х и image187.gifв пространстве L2 [0,2] равно
4
2
е4 - 1
е2 - 1
Завершите определение: совокупность всех открытых подмножеств множества image003.gifназывается____________ ( чем?) на множестве image003.gif
Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = image157.gif. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] B равна
image232.gif
image234.gif
image233.gif
image231.gif
Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В = image157.gif. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна _______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)
Норма элемента f(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле: image171.gif= image102.gifimage103.gif. Тогда норма элемента sinx в пространстве С [-image172.gif,image173.gif] равна
image176.gif
image177.gif
image175.gif
image174.gif
Пусть image349.gif- непрерывная на image350.gifфункция. Оператор image351.gifотображает image352.gif. Норма этого оператора равна
image355.gif
image354.gif
image353.gif
image356.gif
Известно, что расстояние от точки image361.gifлинейного нормированного пространства image003.gifдо гиперплоскости image362.gifнаходится по формуле image363.gif. Если image364.gifimage368.gifи image369.gif, то image367.gifравно
sin1
image370.gif
image371.gif
1
В пространстве image045.gifнайдите решение интегрального уравнения image298.gif, если image299.gif, image300.gif, image301.gif, image302.gif(укажите число)
Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = image157.gif. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] B равна
image188.gif
image235.gif
image236.gif
image172.gif
Пусть image054.gifевклидово, или унитарное, пространство со скалярным произведением. Известно, что оператор image055.gifсамосопряженный. Укажите возможные виды матрицы этого оператора: матрица
эрмитова
симметрична
диагональна
треугольная
Уравнение x(t) - image095.gifimage096.gifx(s)ds = et является интегральным уравнением Фредгольма _____ (какого?) рода (укажите порядок словом)
Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = image157.gif. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] B равна
1,5
1,9
0,5
2,5
Укажите соответствие между интегральным уравнением и его видом
х(t) -image100.gifcos(t+2s)x(s)ds = cos2t
уравнение Фредгольма первого рода
image097.gifln(t2+ts+s2)x(s)ds = t + 3
уравнение Вольтерра первого рода
image098.gif( t6+s6)x(s)ds = sint
уравнение Фредгольма второго рода
Если image125.gif, то любое нормированное пространство _________ одновременно метрическим пространством (заполните пробел для верного утверждения)
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства х2siny < 1 является множество решений
х2siny > 1
х2siny £ 1
х2siny ³ 1
х2siny = 1
Имеем линейное нормированное пространство image345.gifи определенный на image343.gifфункционал image344.gifявляется
ограниченным
непрерывным
линейным
вполне непрерывным
Какое условие на image020.gifзадано в определении сжатого отображения: сжатое отображение - отображение image021.gifметрического пространства image003.gifв себя, для которого существует image020.gif, меньшее____________ (укажите ответ словом), такое, что для любых image128.gifвыполнено image025.gif
Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - limage186.gifK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений приimage246.gif< image241.gif, где В = image157.gif. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - limage098.gif(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
7
6
9
8
Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) = image194.gif; (f(x),g(x)) = image186.giff(x)×g(x)dx ; image178.gif= image179.gif. Тогда косинус угла между элементами x2 и x3 в пространстве L2 [0,2] равен
image198.gif
image197.gif
image195.gif
image196.gif
Интегральное уравнение х(t) - image097.gifln(t2s - s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтерра _____________ рода (ответ – словом)
Норма элемента f(x) в пространстве image318.gifопределяется по формуле: image178.gif= image179.gif. Тогда норма элемента image319.gifв пространстве image320.gifравна ___________ (укажите целое число)
Рассмотрим самосопряженный оператор в гильбертовом пространствеimage295.gif:image296.gifдля image297.gif. Укажите варианты для области значений оператора:
всегда замкнута
может быть замкнутой
может быть незамкнутой
всегда открыта
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства image333.gifпри sinx равен ___ (укажите целое число)
Рассматривается линейный самосопряженный вполне непрерывный оператор image055.gif. Укажите верные утверждения:
если оператор A ненулевой , то он имеет по крайней мере одно отличное от нуля собственное значение
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны
собственное подпространство image066.gifтакого оператора конечномерно при image067.gif
в пространстве image003.gifсуществует единственный базис из собственных векторов
Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: image178.gif= image179.gif. Тогда норма элемента x4 в пространстве L2 [-1,1] равна
3
1
image181.gif
image180.gif
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = image265.gifimage266.gif:
{-0,5; image238.gif}
{ image238.gif; 0,5}
{2;7}
{-7;-2}
Укажите, какие условия определяют линейность оператора image002.gif: А) его область определения image058.gifявляется подпространством в image003.gif; В) для любых image059.gifimage060.gif; С) для любых image059.gifи любого числа image027.gifimage061.gif; D) для любых image059.gifimage062.gif
одновременно A), B) и С)
все
только A) и D)
каждое из B),С) и D)
Пусть оператор image002.gifлинейный. Если он вполне непрерывный, то каждое комплексное число является для него либо _________, либо _________
собственным числом
регулярным числом
характеристическим числом
нормой
Неравенство image111.gifпревращается в неравенство треугольника при image126.gif, равном __ (укажите целое число)
Найдите норму линейного ограниченного оператора image311.gif, image312.gif(укажите число)
Укажите верные утверждения. Если image019.gif- сжатое отображение полного метрического пространства image003.gifв себя и image020.gif- коэффициент сжатия, то image021.gifимеет
для любых image024.gifimage025.gif
для любого image009.gifпоследовательность image023.gifсходится к image022.gif
справедлива оценка image026.gif
единственную неподвижную точку image022.gif
Ортогональная система векторов называется полной, если ряд Фурье любого элемента image001.gifсходится к image001.gifв смысле
нормы
фундаментальной сходимости
условной сходимости
абсолютной сходимости
Норма оператора image357.gif, действующего в image358.gif, равна _______ (укажите число)
Пусть image112.gif, image113.gif. Задача о собственных значениях image030.gifи собственных функциях image114.gifданного оператора равносильна решению дифференциального уравнения image115.gif. Установите соответствия между собственными значениями и собственными функциями
image122.gif
image117.gif,image118.gif
image119.gif
image120.gif,image121.gif
image116.gif
image123.gif,image124.gif
Имеем линейное нормированное пространство image342.gifи определенный на image343.gifфункционал image348.gifявляется
ограниченным
линейным
вполне непрерывным
непрерывным
Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = image258.gifimage259.gif:
(-¥,-6) È (-6,-1) È (-1,+ ¥)
(-¥,1) È (1,6) È (6,+ ¥)
(-¥,-1) È (-1,-image239.gif) È (-image239.gif,+ ¥)
(-¥,image239.gif) È (image239.gif,1) È (1,+ ¥)
Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = image206.gif(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:
f(x) = -7P0 + P1 - 4P2
f(x) = -6P0 + P1 - 5P2
f(x) = -5P0 + P1 - 6P2
f(x) = -6P0 + 2P1 - 5P2
Множество всех собственных векторов данного оператора, отвечающих данному собственному значениюimage030.gif, являются линейным подпространством, называемым _________ (каким?) подпространством
Пусть image154.gifи image278.gifсоответственно замкнутое и открытое множество топологического пространства image003.gif. Тогда (укажите верные утверждения): A) image279.gifзамкнуто , B) image280.gifоткрыто
только А)
только В)
оба верны
оба неверны
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен
0
-5
-4
-2
Ортогональная система состоит из векторов
линейно-независимых
векторное произведение любых двух векторов равно нулю
скалярное произведение любых двух векторов равно нулю
имеющих равные модули
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства image251.gifimage333.gifпри sin2x равен ____ (укажите целое число)
Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = image200.gifêj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx - 1 отрезка [-image172.gif;image173.gif] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
image177.gif
image174.gif
-image201.gif
image175.gif
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = image263.gifimage264.gif:
{-image211.gif; 0,1}
{-0,1; image211.gif}
{-10;3}
{-3;10}