Элементы теории функций и функциональный анализ
Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = 
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -3x2 + 4 по многочленам Лежандра имеет вид:
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -3x2 + 4 по многочленам Лежандра имеет вид:f(x) = 3P0 - 2P2
f(x) = 4P0 - 3P2
f(x) = 2P0 - 3P2
f(x) = -3P0 + 4P2
Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,1}, v {1,2,3} евклидова пространства R3 дает векторы u,w, причем вектор w равен
{1,0,1}
{-1,0,1}
{0,1,-1}
{-1,1,0}
Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта к некоторой системе векторов, можно получить:
систему нормированных векторов
ортогональный базис пространства
собственный базис пространства
систему линейно-независимых векторов
Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:
:(-¥;
) È (; 0,5 ) È (0,5;+ ¥)
) È (; 0,5 ) È (0,5;+ ¥)(-¥;-7) È (-7;-2) È (-2;+ ¥)
(-¥;2) È (2;7) È (7;+ ¥)
(-¥;-0,5) È (-0,5; -) È (-;+ ¥)
) È (-;+ ¥)Норма оператора 
на унитарном пространстве С3 определяется по формуле 
= max{
,
,
}. Тогда норма оператора 
равна
на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора равна4
3
Найти норму функционала 
, определенного на пространстве 
(укажите целое число)
, определенного на пространстве (укажите целое число)Евклидово, или унитарное, линейное пространство, полное относительно нормы, согласованной со скалярным произведением, называется
Наилучшее линейное приближение функции ех в пространстве L2[-1,1] равно
Система векторов евклидова или унитарного пространства 
называется ортонормированной. Тогда норма каждого вектора равна ________ (укажите число)
называется ортонормированной. Тогда норма каждого вектора равна ________ (укажите число)Норма оператора на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора 
равна
на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора равна5
2
Завершите определение: сходящаяся последовательность - это последовательность, имеющая____________ (что?)
Линейный оператор действует из пространства функций 
, непрерывных на отрезке 
и имеющих на нем непрерывную первую производную в пространство 
функций, непрерывных на отрезке . Найдите норму линейного ограниченного оператора 
(укажите число)
, непрерывных на отрезке и имеющих на нем непрерывную первую производную в пространство функций, непрерывных на отрезке . Найдите норму линейного ограниченного оператора (укажите число)Норма элемента f(x) в пространстве С[a,b] определяется по формуле: 
= 
. Тогда норма элемента 2x3 - 9x2 + 12x + 1 в пространстве С[0,2] равна
= . Тогда норма элемента 2x3 - 9x2 + 12x + 1 в пространстве С[0,2] равна6
5
4
7
Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,0}, v {3,-7,-2} евклидова пространства R3 дает векторы u,w, причем вектор w равен
{-5,2,5}
{-5,2,-2}
{-2,5,5}
{5,-5,-2}
Пусть 
. Уравнение 
имеет решение, если интеграл 
равен ____ (укажите число)
. Уравнение имеет решение, если интеграл равен ____ (укажите число)Система векторов евклидова, или унитарного, пространства называется ортонормированной, если: A) любые два вектора этой системы ортогональны; B) норма каждого вектора равна 1; С) если угол между любыми двумя векторами этой системы равен
; D) если 
.Укажите, какие из этих вариантов определяют названную систему
называется ортонормированной, если: A) любые два вектора этой системы ортогональны; B) норма каждого вектора равна 1; С) если угол между любыми двумя векторами этой системы равен; D) если .Укажите, какие из этих вариантов определяют названную системуA)
С)
B)
D)
все
Пусть 
- метрика на множестве . Образуем некоторую новую функцию, которая может быть, а может и не быть метрикой. Если новая функция 
, то она ____________ метрикой (заполните пробел связкой)
- метрика на множестве . Образуем некоторую новую функцию, которая может быть, а может и не быть метрикой. Если новая функция , то она ____________ метрикой (заполните пробел связкой)Укажите решение интегрального уравнения в пространстве непрерывных функций 
при 
при 
Найдите норму линейного ограниченного оператора , 
(укажите число)
, (укажите число)Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,1,1}, v {3,3,-1,-1} евклидова пространства R3 дает векторы u,w, причем вектор w равен
{-2,-2,2,2}
{2,2,-2,-2}
{-3,-3,1,1}
{-1,-1,-1,-1}
Из пространств: A) непрерывных на [a,b] функций с равномерной нормой; B) 
,
непрерывных на [a,b] функций с интегральной нормой; C)
,
пространство последовательностей 
, таких, что ряд 
; D) пространство сходящихся последовательностей 
с нормой 
- банаховыми являются
непрерывных на [a,b] функций с равномерной нормой; B) ,непрерывных на [a,b] функций с интегральной нормой; C),пространство последовательностей , таких, что ряд ; D) пространство сходящихся последовательностей с нормой - банаховыми являютсяD)
B)
A)
C)
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сos2x равен
0
2
-1
1
Известно, что расстояние от точки 
линейного нормированного пространства до гиперплоскости 
находится по формуле 
. Если 
и 
, то 
равно
линейного нормированного пространства до гиперплоскости находится по формуле . Если и , то равно1-cos1
1
(1-cos1)/2
sin1/2
Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: = 
. Тогда норма элемента x
в пространстве L2 [0,3] равна
= . Тогда норма элемента xв пространстве L2 [0,3] равна
20,25
4,5
3
Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = 
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = e 0,5x - 1 отрезка [-0,5;0,5] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = e 0,5x - 1 отрезка [-0,5;0,5] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:
:{-
; 0,25}
; 0,25}{-9;4}
{-4;9}
{-0,25; }
}Укажите верные утверждения. Собственное значение линейного оператора - это:
такое число 
, что уравнение 
имеет единственное решение для любого
, что уравнение имеет единственное решение для любогоэлемент множества 
такое число 
, что существует вектор 
такой, что 
, что существует вектор такой, что такое число 
,что уравнение 
имеет ненулевое решение
,что уравнение имеет ненулевое решениеИнтегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при 
< 
, где В = 
. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
et+s x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при < , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - let+s x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
Пусть . Уравнение 
имеет решение, если интеграл равен ___ (укажите число)
. Уравнение имеет решение, если интеграл равен ___ (укажите число)Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = (3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 + 4 по многочленам Лежандра имеет вид:
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 + 4 по многочленам Лежандра имеет вид:f(x) = 4P0 + 2P2
f(x) = -2P0 +4P2
f(x) = 2P0 - 4P2
f(x) = -4P0 - 4P2
Расстояние от f(x) до g(x) в пространстве С[a,b] определяется по формуле: r(f(x),g(x)) = 
. Тогда расстояние между х3 + 3х2 + 1 и 24х в С [0,3] равно
. Тогда расстояние между х3 + 3х2 + 1 и 24х в С [0,3] равно35
17
27
15
Найдите норму линейного ограниченного оператора 
, 
(укажите число)
, (укажите число)Пусть 
комплексное гильбертово пространство. Оператор 
называется самосопряженным, если:
комплексное гильбертово пространство. Оператор называется самосопряженным, если:для любых 
выполняется равенство 
выполняется равенство он ограничен на всем
существуют такие, что выполняется равенство
такие, что выполняется равенство он линеен и определен на всем
Пусть - метрика на множестве . Образуем некоторую новую функцию, которая может быть, а может и не быть метрикой. Если новая функция 
, то она ____________ метрикой (заполните пробел связкой)
- метрика на множестве . Образуем некоторую новую функцию, которая может быть, а может и не быть метрикой. Если новая функция , то она ____________ метрикой (заполните пробел связкой)Завершите формулировку теоремы. Любое конечномерное евклидово, или унитарное, пространство является
линейным
банаховым
гильбертовым
компактным
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Установите соответствие между числовыми множествами и множествами предельных точек
множество всех рациональных чисел
Æ - пустое множество
множество (-1,+¥)
{0}
множество {
: n = 1;2;3;…}
: n = 1;2;3;…}[-1,+ ¥)
множество натуральных чисел
(-¥,+ ¥)
Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A=
:
:(-¥;3) È (3;7) È (7;+ ¥)
(-¥;-
) È (-; -) È (-;+ ¥)
) È (-; -) È (-;+ ¥)(-¥;) È (;) È (;+ ¥)
) È (;) È (;+ ¥)(-¥;-7) È (-7;-3) È (-3;+ ¥)
Норма оператора 
, отображающего 
, равна ______ (укажите алгебраическое выражение)
, отображающего , равна ______ (укажите алгебраическое выражение)Норма оператора на унитарном пространстве 
определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора
равна ______ (укажите целое число)
на унитарном пространстве определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператораравна ______ (укажите целое число)Теорема __________: Семейство 
функций на отрезке 
компактно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и существует 
, так что 
для всех 
функций на отрезке компактно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и существует , так что для всех Наилучшее линейное приближение функции x2 в пространстве L2[-1,1] равно
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен _________ (укажите число)
Наилучшее линейное приближение функции x3 в пространстве L2[-1,1] равно
0,6x
1 + 0,6x
0,4x
1 + 0,4x
Расстояние от f(x) до g(x) в пространстве С[a,b] определяется по формуле: r(f(x),g(x)) = . Тогда расстояние между 
и 24х в С [0,3] равно ____________ (укажите целое число)
. Тогда расстояние между и 24х в С [0,3] равно ____________ (укажите целое число)Если линейный оператор 
является сжатым, то любое отображение вида 
, 
_______ (какое?) (заполните пробел в утверждении одним словом)
является сжатым, то любое отображение вида , _______ (какое?) (заполните пробел в утверждении одним словом)Найдите норму линейного ограниченного оператора , 
(укажите число)
, (укажите число)Расстояние от f(x) до g(x) в пространстве С[a,b] определяется по формуле: r(f(x),g(x)) = . Тогда расстояние между
и 
в С[-1,3] равно ___________ (укажите целое число)
. Тогда расстояние междуи в С[-1,3] равно ___________ (укажите целое число)Для полной ортогональной системы 
, 
верно, что
, верно, чторяд Фурье этой системы для любого 
сходится к x в смысле нормы
сходится к x в смысле нормыдля любоговыполняется неравенство 
выполняется неравенство для любоговыполняется равенство 
выполняется равенство элемент, ортогональный всем векторам , равен 0
, равен 0Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = 
по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства 
при сosx равен _____ (укажите целое число)
по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства при сosx равен _____ (укажите целое число)Наилучшее линейное приближение функции cosx в пространстве 
равно _______ (укажите ответ в виде алгебраического выражения)
равно _______ (укажите ответ в виде алгебраического выражения)