Численные методы
Линейная система уравнений задана в виде Тогда x1 и x2 равны
{ 2 ; 0 }
{ 1 ; 1 }
{ 2 ; 1 }
{ 1 ; 2 }
Квадратурная формула Симпсона является точной для подынтегральной функции, имеющей вид многочлена степени
4
5
3
2
Заданы матрицы 1) , 2) , 3) Условиям диагонального преобладания удовлетворяют матрицы
1 и 2
3
1
2
Задана линейная система Первое приближение метода простой итерации при начальном значении дает результат
{ 2 ; 2,7 }
{ 1,9 ; 0,9 }
{ 2 ; 1 }
{ 1,9 ; 2,7 }
Для задачи Коши один шаг метода Эйлера с пересчетом с h = 0,1 дает результат для y(1,1), равный
2,005
1,891
1,987
1,9105
Задана система нелинейных уравнений Для начального приближения x1(0) = 0 и x2(0) =1 один шаг метода итераций дает приближение { x1(1) , x2(1) }, равное
{ 1 ; 1 }
{ 0 ; 1 }
{ 1 ; 2 }
{ 1 ; 0 }
При применении метода Гаусса для вычисления определенного интеграла узлы интегрирования располагаются на отрезке
неравномерно, сгущаясь к концам отрезка
неравномерно, сгущаясь к середине отрезка
неравномерно, сгущаясь к середине отрезка и к его концам
равномерно
Задана табличная функция y = f(x) Первая производная на левом конце с погрешностью равна
2,5
1,7
2
1,5
Функция u(x,y) задана таблицей Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности в точке x = 0,6 y = 1,2, равно
3
1,987
2
2,4
Интерполяционный многочлен второй степени вида называется интерполяционным многочленом
Чебышева
Гаусса
Ньютона
Лагранжа
Метод трапеций вычисления определенного интеграла использует аппроксимацию подынтегральной функции
кусочно-постоянной функцией
гиперболой
кусочно-линейной функцией
квадратичной функцией
Заданы уравнения 1) x2 = 2cosх; 2) x = 2cosx; 3) sinx = 2cosx; 4) x = 2e-x + 1. Вид, удобный для итераций, имеют уравнения
1, 4
2, 4
2, 3, 4
1, 2
Для таблично заданной функции значение по формуле для центральных разностей равно
1,8
2,2
2,5
2
Абсолютные погрешности величин x и y равны Dx = 0,4 и Dy =0,3 . Абсолютная погрешность разности D( x - y ) будет равна
1,3333333
0,12
0,7
0,1
Один шаг метода половинного деления для уравнения x2 − 2 = 0 для начального отрезка [0; 2] дает следующий отрезок
[1,5 ; 2]
[1; 2]
[0,5 ; 1]
[0; 1]
Уравнение записано в виде, удобном для итераций: x = 0,5cos2x + π ∕ 8 . Первое приближение метода итераций x1 для начального приближения x0 = π∕4 равно
π ∕ 4
3π ∕ 8
3π ∕ 4
π ∕ 8
Метод итераций для линейной системы
будет расходиться
приведет к зацикливанию
будет сходиться только при специальном выборе начального приближения
будет сходиться при любом начальном приближении
При начальном приближении x0 = a метод Ньютона для уравнения F( x ) = 0 будет гарантировано сходиться в случаях
1, 2, 4
1, 4
2, 3
1, 2
Число 125,7 в ЭВМ для режима с плавающей точкой в нормализованном виде имеет следующее представление
0,01257∙104
125,7
0,1257∙103
1,257∙102
Для линейной системы уравнений вычисления по итерационной формуле называют методом
Зейделя
простой итерации
релаксации
Ньютона
Разностная схема называется устойчивой, если
она аппроксимирует дифференциальное уравнение
малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения
она определяет решение, не выходящее за круг данного радиуса
решение разностной схемы стремится к константе
Симметричная матрица
имеет собственные значения - комплексно-сопряженные числа
имеет собственные значения - все действительные
имеет собственные значения - часть комплексных, часть действительных
не имеет собственных значений
Нижняя треугольная матрица - это квадратная матрица, у которой
выше главной диагонали все элементы равны единице
выше главной диагонали все элементы равны нулю
ниже главной диагонали все элементы равны нулю
ниже главной диагонали все элементы равны единице
Метод Симпсона вычисления определенного интеграла использует аппроксимацию подынтегральной функции
кубическим сплайном
кусочно-линейной функцией
квадратичной функцией
кусочно-постоянной функцией
Задана табличная функция y = f(x) Первая производная на правом конце с погрешностью равна
1,85
1,8
1,92
2
Задана система нелинейных уравнений и начальное приближение x1(0) = 0 , x2(0) = 1 . Один шаг метода простой итерации дает следующие значения x1(1) , x2(1)
{ 1, 1 }
{ 0 , 2 }
{ 1, 3 }
{ 2 , 1 }
Функция u(x,y) задана таблицей Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности в точке x = 0,6 y = 1,2, равно
9
10
9,56
11,5
Нелинейное уравнение задано в виде x = φ( x ) . Тогда условием сходимости метода простой итерации будет условие
φ′(x) ∙ φ″(x) > 0
2 < φ′(x) < −1
φ( x ) - непрерывная функция
Задано нелинейное уравнение F( x ) = 0 , для которого известно, что . Тогда точность вычисления корня на k-ой итерации (x* − точное значение корня) будет меньше, чем
( 0,2 )k
0,2 F′(xk)
0,2 F( xk )
Заданы уравнения: 1) 2sin x = cos2 x ; 2) lnx = x ; 3) x = e-x ; 4) x2 = cosx +1 ; 5) ex + x = x . Вид, удобный для итераций, имеют уравнения
2, 3 и 5
1 и 2
3, 4 и 5
2, 4 и 5
Погрешность метода Симпсона на элементарном отрезке имеет порядок k, равный
5
3
2
4
Интерполяция называется глобальной, если
один интерполяционный многочлен используется для интерполяции исходной функции f(x) на всем интервале [a, b]
она вычисляется по общим формулам для всех видов функции φ(x)
интерполяционный многочлен является общим на бесконечном интервале ( - ¥, ¥ )
один интерполяционный многочлен позволяет описать любую непрерывно дифференцируемую функцию
Матрица А имеет наибольшее собственное значение 30. Тогда обратная матрица А-1 имеет наименьшее собственное значение
1
(30)2
Верхняя треугольная матрица - это квадратная матрица, у которой
ниже главной диагонали все элементы равны единице
выше главной диагонали все элементы равны единице
ниже главной диагонали все элементы равны нулю
выше главной диагонали все элементы равны нулю
Для величин x = 5 и y = 1 известны абсолютные погрешности D(x) = 0,001 и D(y) = 0,0005. Абсолютная погрешность частного D( x/y ) равна
0,0035
0,0015
0,0005
0,000005
Для таблично заданной функции конечные разности равны
= 0,3; = 0,5; = 0,2
= 0,5; = 0,3; = 0,4
= 0,8; = 0,3; = 0,5
= 0,2; = 0,2; = 0
Дано нелинейное уравнение x2 − sinx + 1 = 0 и начальное приближение x0 = 0. Первое приближение x1 в методе Ньютона равно
1
−1
0,5
0,1
При разложении функции в ряд по многочленам Чебышева на отрезке [-1, 1] погрешность
резко возрастает на концах отрезка и в окрестности x = 0
резко возрастает на концах отрезка
распределена на отрезке достаточно равномерно
сильно растет при x = 0
Для линейной системы уравнений известно LU-разложение матрицы A = LU . Тогда количество систем уравнений с треугольными матрицами, к которым сводится решение исходной системы уравнений равно
четырем
единице
трем
двум
Для метода секущих порядок сходимости решения нелинейного уравнения равен
1,824
1,618
2
1
Задана система уравнений Для заданного начального приближения x1(0) = 0 ; x2(0) = 1, первый шаг метода Зейделя дает следующие значения первого приближения { x1(1) , x2(1) }
{ 1,5 ; 0,2 }
{ 2,5 ; 0,95 }
{ 2,5 ; 0,2 }
{ 2 ; 0 }
Явлением Рунге называется такое поведение интерполяционного многочлена φ(x) на отрезке при равномерном распределении на нем узлов, когда при n ®¥
φ(x) сходится во всех точках отрезка, кроме его концов
φ(x) расходится во всех точках отрезка
φ(x) сходится во всех точках отрезка
значения этого многочлена на одной части отрезка сходятся к интерполируемой функции f(x), а на другой - нет