Уравнения математической физики (курс 2)
______________________ - метод решения дифференциальных уравнений, который позволяет от одного уравнения перейти к нескольким уравнениям, но с меньшим числом независимых переменных
Метод разделения переменных
Метод дифференциальных преобразований
Метод преобразования Фурье
Метод интегральных преобразований
Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = 
f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции 











Интегралом Фурье по косинусам функции f(x) называется выражение вида
f(x)=

cos x=

f(x)=

f(x)=

Верны ли утверждения? А) Преобразование Фурье – нелинейное преобразование Б) Для функций
и
,
, справедлива формула
.




А - нет, Б - да
А - да, Б - нет
А – да, Б - да
А - нет, Б - нет
Преобразование Фурье F[f] функций удовлетворяет свойству линейности
F[K1f + K2g] = K1F[f] + K2F[g]
F[K1f × K2g] = K1F[f] × K2F[g]
F[K1f + K2g] = K1F[f] × K2F[g]
F[K1f × K2g] = K1F[f] + K2F[g]
Коэффициент А(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле А(l) = 
j(x)cosx
dxТогда коэффициент А(l) при U(x,0) = j(x) = sinx равен



0
-1
1
3
Интегралом Фурье функции f(x)=x2 называется выражение вида
x2 =

x2 =

x2 =

x2 =

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx с начальным условием U(x,0) = j(x)=
имеет вид

U(x,t) = 

U(x,t) =50

U(x,t) = 

U(x,t) = 

Функция
, которая при всех
является решением уравнения теплопроводности при всех -
<>
и t>0- это




обратное преобразование Фурье
свертка функций
формула Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
фундаментальное решение уравнения теплопроводности
Верны ли утверждения? А) Функция Хэвисайда -
Б) Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности - уравнение
удовлетворяющего начальному условию 



А – да, Б - да
А - да, Б - нет
А - нет, Б - да
А - нет, Б - нет
Верны ли утверждения? А) Если функция
определена при
, то ее обратным преобразованием Фурье F
называется функция
, которая определяется по формуле
Б) В случае, когда функция
задана только на полупрямой
, ее можно представить в виде интеграла Фурье по косинусам или по синусам, если продолжить в интервал, соответственно, четным или нечетным образом







А – да, Б - да
А - нет, Б - да
А - нет, Б - нет
А - да, Б - нет
Верны ли утверждения? А) Функция Хэвисайда – r(t)=
Б) Свойство свертки - для функций
и
,
, справедлива формула 





А - да, Б - нет
А – да, Б - да
А - нет, Б - да
А - нет, Б - нет
Верны ли утверждения? А) Метод разделения переменных – позволяет от одного уравнения перейти к нескольким уравнениям, но с меньшим числом независимых переменных (в частности, к обыкновенным дифференциальным уравнениям) Б) Интегральное преобразование определяется формулой 

А – да, Б - да
А - да, Б - нет
А - нет, Б - нет
А - нет, Б - да
Выражение вида F(s) =
f(x)e-ixsdx называется


коэффициентом Фурье
преобразованием Фурье функции f(x)
интегралом Фурье
разложением Фурье
Верны ли утверждения? А) Абсолютно сходящийся несобственный интеграл - несобственный интеграл
в том случае, если сходится интеграл
. Б) Кривая Гаусса - график фундаментального решения уравнения теплопроводности при фиксированных значениях
и 




А - нет, Б - да
А - нет, Б - нет
А – да, Б - да
А - да, Б - нет
Преобразованием Фурье функции f(x) называется функция вида
F(s) = 
f(x)e-xsdx


F(s) 

F(s) = 

F(s) = 
f(x)e-ixsdx


Верны ли утверждения? А) Интеграл Фурье функции
по синусам - представление функции в виде
, где
Б) Интеграл Фурье функции - представление функции в виде 




А - нет, Б - да
А - да, Б - нет
А - нет, Б - нет
А – да, Б - да
Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = 
f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции 











Несобственный интеграл
в том случае, если сходится интеграл
- это


расходящийся несобственный интеграл
сходящийся несобственный интеграл
абсолютно сходящийся несобственный интеграл
абсолютно расходящийся несобственный интеграл
Интегралом Фурье функции f(x)=x называется выражение вида
x =

x =

x =

x =

Выражение
, где
,
, является решением задачи Коши для уравнения



теплопроводности
Лапласа
Пуассона
волнового
Верны ли утверждения? А) Для определения обратного преобразования от произведения Фурье–образов, надо найти прообразы каждого из сомножителей, то есть функции
и
, а затем вычислить их свертку. Б) Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции
ставит в соответствие новую функцию
по формуле 





А - нет, Б - нет
А - нет, Б - да
А – да, Б - да
А - да, Б - нет
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Ut = 9Uxx с начальным условием U(x,0) = j(x)=
имеет вид

U(x,t) =3

U(x,t) = 

U(x,t) = 3

U(x,t) = 

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = 
j(x)sinx
dxТогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) =
равен




1
0


Верны ли утверждения? А) Преобразование Фурье - интегральное преобразование функций, задаваемое формулой F
. Б) Интеграл Фурье функции
по косинусам - представление функции в виде
, где 




А – да, Б - да
А - нет, Б - нет
А - нет, Б - да
А - да, Б - нет
Если функция
определена для всех
, то ей соответствует
, которая для
является ___ Фурье




обратным преобразованием
ядром преобразования
ядром обратного преобразования
преобразованием
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Ut = 4Uxx с начальным условием U(x,0) = j(x)=
имеет вид

U(x,t) = 4

U(x,t) = 50

U(x,t) = 

U(x,t) =2
'

Верны ли утверждения? А) Обратное интегральное преобразование - интегральное преобразование, которое восстанавливает первоначальную функцию из преобразованной Б) Ядро преобразования - функция
в интегральном преобразовании

А – да, Б - да
А - да, Б - нет
А - нет, Б - да
А - нет, Б - нет
Интегральное преобразование функций, задаваемое формулой F-1
- это

фундаментальное решение уравнения теплопроводности
формула Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
обратное преобразование Фурье
свертка функций
Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = 
f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции 











Функция
в интегральном преобразовании – это

ядро преобразования
свертка функций
интеграл Фурье функции по косинусам
интеграл Фурье функции по синусам
_____________________________ - метод решения дифференциальных уравнений, который позволяет уменьшить число независимых переменных (по которым проводится дифференцирование), преобразуя некоторые переменные в параметры (по которым уже нет дифференцирования)
Метод преобразования Фурье
Метод интегральных преобразований
Метод дифференциальных преобразований
Метод разделения переменных
Верны ли утверждения? А) Пара преобразований Фурье
и
взаимно обратная, то есть для функции
,
, выполняется тождество
. Б) Преобразование Фурье – нелинейное преобразование





А - нет, Б - да
А - да, Б - нет
А - нет, Б - нет
А – да, Б - да
Выражение
является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности, где А и B равны









Верны ли утверждения? А) Точечный тепловой импульс - идеализация физического теплового импульса
при
, если
и
. Б) Фундаментальное решение уравнения теплопроводности - функция вида
, которая при всех
и
является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности







А - да, Б - нет
А – да, Б - да
А - нет, Б - да
А - нет, Б - нет
Косинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fc(a) = 
f(x)cosax dx. Найти косинус-преобразование Фурье функции











Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид








Интегралом Фурье функции cos x называется выражение вида
cos x=

cos x=

cos x=

cos x=

Преобразование Фурье F[f] по х функции f(x,t) имеет свойство
F[
] = is F[f]

F[
] =
F[f]


F[
] =
F[f]


F[
] =
F[f]


Выражение вида f(x) =
F(s)eixsds называется _____ Фурье


обратным преобразованием
коэффициентом
интегралом
разложением
Интегральное преобразование двух функций
и
, задаваемое формулой
- это



формула Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
свертка функций
фундаментальное решение уравнения теплопроводности
обратное преобразование Фурье
Верны ли утверждения? А) С каждым прямым преобразованием Фурье связано обратное преобразование, которое должно восстанавливать первоначальную функцию из преобразованной, то есть всегда возникает пара взаимно обратных преобразований Б) Обратное преобразование Фурье определяется формулой 

А - нет, Б - да
А - да, Б - нет
А - нет, Б - нет
А – да, Б - да
Верны ли утверждения? А) Сверткой
функций
и
,
, называется функция, определяемая по формуле
. Б) Метод Фурье-преобразования неудобен для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами





А - да, Б - нет
А - нет, Б - нет
А – да, Б - да
А - нет, Б - да
Функция
- это

функция Лапласа
кривая Гаусса
функция Хэвисайда
фурье-изображение
Интегралом Фурье по синусам функции f(x) называется выражение вида
f(x)=

f(x)=

cos x=

f(x)=

Верны ли утверждения? А) Несобственный интеграл
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
Б) Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции
ставит в соответствие новую функцию
по формуле 





А - да, Б - нет
А - нет, Б - нет
А - нет, Б - да
А – да, Б - да
Верны ли утверждения? А) Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции
ставит в соответствие новую функцию
по формуле
Б) Обратное преобразование Фурье определяется формулой 




А - да, Б - нет
А – да, Б - да
А - нет, Б - нет
А - нет, Б - да