Математика (курс 10)
Если функция
удовлетворяет соотношениям
и
, то в окрестности точки z = 0 она разлагается в ряд
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image308.gif](/discipline-images/295675/image308.gif)
![image309.gif](/discipline-images/295675/image309.gif)
![image311.gif](/discipline-images/295675/image311.gif)
![image310.gif](/discipline-images/295675/image310.gif)
![image312.gif](/discipline-images/295675/image312.gif)
![image313.gif](/discipline-images/295675/image313.gif)
Функция
аналитична всюду в С, кроме точек
![image225.gif](/discipline-images/295675/image225.gif)
![image226.gif](/discipline-images/295675/image226.gif)
![image228.gif](/discipline-images/295675/image228.gif)
![image227.gif](/discipline-images/295675/image227.gif)
![image229.gif](/discipline-images/295675/image229.gif)
Функция
преобразует сектор
в
![image195.gif](/discipline-images/295675/image195.gif)
![image202.gif](/discipline-images/295675/image202.gif)
плоскость w
плоскость w с выброшенным отрезком ![image203.gif](/discipline-images/295675/image203.gif)
![image203.gif](/discipline-images/295675/image203.gif)
плоскость w с выброшенной положительной полуосью
верхнюю полуплоскость
Дробно-линейное отображение, переводящее единичный круг в единичный круг и отличное от тождественного, имеет вид
![image189.gif](/discipline-images/295675/image189.gif)
![image193.gif](/discipline-images/295675/image193.gif)
![image194.gif](/discipline-images/295675/image194.gif)
![image193.gif](/discipline-images/295675/image193.gif)
![image192.gif](/discipline-images/295675/image192.gif)
![image193.gif](/discipline-images/295675/image193.gif)
![image191.gif](/discipline-images/295675/image191.gif)
![image193.gif](/discipline-images/295675/image193.gif)
Если функция
- четная те
и точка
является изолированной особой точкой этой функции то
равен
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image048.gif](/discipline-images/295675/image048.gif)
![image008.gif](/discipline-images/295675/image008.gif)
![image049.gif](/discipline-images/295675/image049.gif)
-1
0
1
![image050.gif](/discipline-images/295675/image050.gif)
Пусть координаты стереографической проекции точки z = x + iy есть
; тогда координаты стереографической проекции точки
есть
![image117.gif](/discipline-images/295675/image117.gif)
![image131.gif](/discipline-images/295675/image131.gif)
![image133.gif](/discipline-images/295675/image133.gif)
![image130.gif](/discipline-images/295675/image130.gif)
![image126.gif](/discipline-images/295675/image126.gif)
![image132.gif](/discipline-images/295675/image132.gif)
Функция
называется аналитической в точке
, если она дифференцируема в смысле
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image160.gif](/discipline-images/295675/image160.gif)
![image171.gif](/discipline-images/295675/image171.gif)
С в некоторой окрестности этой точки
![image171.gif](/discipline-images/295675/image171.gif)
С в этой точке
Если
и
- функции аналитические в точках замкнутой кусочно-гладкой кривой
и внутри нее и если в точках этой кривой
, то внутри
число нулей функции
равно
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image065.gif](/discipline-images/295675/image065.gif)
![image064.gif](/discipline-images/295675/image064.gif)
![image066.gif](/discipline-images/295675/image066.gif)
![image064.gif](/discipline-images/295675/image064.gif)
![image067.gif](/discipline-images/295675/image067.gif)
числу нулей функции ![image068.gif](/discipline-images/295675/image068.gif)
![image068.gif](/discipline-images/295675/image068.gif)
числу нулей функции ![image065.gif](/discipline-images/295675/image065.gif)
![image065.gif](/discipline-images/295675/image065.gif)
нулю
числу нулей функции ![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
Для функции
точка
является
![image314.gif](/discipline-images/295675/image314.gif)
![image008.gif](/discipline-images/295675/image008.gif)
полюсом
устранимой
существенной особой точкой
неизолированной особой точкой
Какая из нижеперечисленных функций дифференцируема в смысле С
![image152.gif](/discipline-images/295675/image152.gif)
![image155.gif](/discipline-images/295675/image155.gif)
![image153.gif](/discipline-images/295675/image153.gif)
![image154.gif](/discipline-images/295675/image154.gif)
Для коэффициентов ряда Тейлора функции
справедлива оценка (
R - радиус сходимости ряда):
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image257.gif](/discipline-images/295675/image257.gif)
![image258.gif](/discipline-images/295675/image258.gif)
![image259.gif](/discipline-images/295675/image259.gif)
![image260.gif](/discipline-images/295675/image260.gif)
![image261.gif](/discipline-images/295675/image261.gif)
![image262.gif](/discipline-images/295675/image262.gif)
Для однолистности отображения
в области D необходимо и достаточно чтобы область D не содержала никаких двух различных точек
и
, связанных соотношением
![image213.gif](/discipline-images/295675/image213.gif)
![image196.gif](/discipline-images/295675/image196.gif)
![image197.gif](/discipline-images/295675/image197.gif)
![image217.gif](/discipline-images/295675/image217.gif)
![image215.gif](/discipline-images/295675/image215.gif)
![image214.gif](/discipline-images/295675/image214.gif)
![image216.gif](/discipline-images/295675/image216.gif)
Если функция
удовлетворяет соотношениям
и
, то в окрестности точки z = 0 она разлагается в ряд
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image302.gif](/discipline-images/295675/image302.gif)
![image303.gif](/discipline-images/295675/image303.gif)
![image305.gif](/discipline-images/295675/image305.gif)
![image304.gif](/discipline-images/295675/image304.gif)
![image307.gif](/discipline-images/295675/image307.gif)
![image306.gif](/discipline-images/295675/image306.gif)
Если функция
в окрестности полюса а первого порядка представима в виде
где
и ![image027.gif](/discipline-images/295675/image027.gif)
, то ее вычет в точке а вычисляется по формуле
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image025.gif](/discipline-images/295675/image025.gif)
![image026.gif](/discipline-images/295675/image026.gif)
![image027.gif](/discipline-images/295675/image027.gif)
![image028.gif](/discipline-images/295675/image028.gif)
![image030.gif](/discipline-images/295675/image030.gif)
![image029.gif](/discipline-images/295675/image029.gif)
![image031.gif](/discipline-images/295675/image031.gif)
![image032.gif](/discipline-images/295675/image032.gif)
Для функции
точка
является
![image316.gif](/discipline-images/295675/image316.gif)
![image317.gif](/discipline-images/295675/image317.gif)
устранимой
существенной особой точкой
полюсом
неизолированной особой точкой
Для того чтобы функция
определенная в окрестности точки
имела в этой точке производную необходимо и достаточно чтобы
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image160.gif](/discipline-images/295675/image160.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image161.gif](/discipline-images/295675/image161.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image161.gif](/discipline-images/295675/image161.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image161.gif](/discipline-images/295675/image161.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image161.gif](/discipline-images/295675/image161.gif)
Мероморфная функция с полюсом в бесконечности является
рациональной
постоянной
полиномом
ограниченной
Согласно теореме о полной сумме вычетов имеет место равенство (
- конечные изолированные особые точки функции
):
![image039.gif](/discipline-images/295675/image039.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295675/image011.gif)
![image043.gif](/discipline-images/295675/image043.gif)
![image042.gif](/discipline-images/295675/image042.gif)
![image041.gif](/discipline-images/295675/image041.gif)
![image040.gif](/discipline-images/295675/image040.gif)
Для однолистности отображения
в области D необходимо и достаточно чтобы область D не содержала никаких двух различных точек
и
, связанных соотношением
![image195.gif](/discipline-images/295675/image195.gif)
![image196.gif](/discipline-images/295675/image196.gif)
![image197.gif](/discipline-images/295675/image197.gif)
![image198.gif](/discipline-images/295675/image198.gif)
![image199.gif](/discipline-images/295675/image199.gif)
![image200.gif](/discipline-images/295675/image200.gif)
![image201.gif](/discipline-images/295675/image201.gif)
Для однолистности отображения
в области D необходимо и достаточно чтобы область D не содержала никаких двух различных точек
и
, связанных соотношением
![image207.gif](/discipline-images/295675/image207.gif)
![image196.gif](/discipline-images/295675/image196.gif)
![image197.gif](/discipline-images/295675/image197.gif)
![image210.gif](/discipline-images/295675/image210.gif)
![image208.gif](/discipline-images/295675/image208.gif)
![image209.gif](/discipline-images/295675/image209.gif)
![image211.gif](/discipline-images/295675/image211.gif)
Дробно-линейное отображение, переводящее верхнюю полуплоскость
в единичный круг
имеет вид
![image185.gif](/discipline-images/295675/image185.gif)
![image186.gif](/discipline-images/295675/image186.gif)
![image190.gif](/discipline-images/295675/image190.gif)
![image188.gif](/discipline-images/295675/image188.gif)
![image189.gif](/discipline-images/295675/image189.gif)
![image188.gif](/discipline-images/295675/image188.gif)
![image191.gif](/discipline-images/295675/image191.gif)
![image188.gif](/discipline-images/295675/image188.gif)
![image187.gif](/discipline-images/295675/image187.gif)
![image188.gif](/discipline-images/295675/image188.gif)
Сопряженным с комплексным числом x + iy называется число вида
x + iy
y - ix
x - iy
y + ix
Пусть координаты стереографической проекции точки z = x + iy есть
; тогда координаты стереографической проекции точки - z есть
![image117.gif](/discipline-images/295675/image117.gif)
![image128.gif](/discipline-images/295675/image128.gif)
![image127.gif](/discipline-images/295675/image127.gif)
![image126.gif](/discipline-images/295675/image126.gif)
![image125.gif](/discipline-images/295675/image125.gif)