Математический анализ (курс 5)
Числовая ось - это прямая, на которой
установлено направление
отсчитываются длины
выбрано начало отсчета
выбрано начало отсчета, установлены направление и единица измерения длин
. Тогда 
Действительные числа - это
числа, которые действительно существуют
целые числа
положительные числа
рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные числа и число нуль
Для функции 
точка М (3, 4) является точкой
точка М (3, 4) является точкойминимума
перегиба
максимума
разрыва
Переменная величина 
является бесконечно малой (б.м.), если
является бесконечно малой (б.м.), если
, т.е. для 
, начиная с некоторого момента в изменении 
выполняется неравенство 
меньше всякого числа
меньше всякого 
для функции 
является точкойТочкой перегиба функции 
является точка 
, при переходе через которую
является точка , при переходе через которую
меняет знаксохраняет знак
сохраняет знакменяет знак
равен
является точка с абсциссой
Любое действительное число может быть записано как десятичная дробь
конечная
периодическая
конечная и периодическая
конечная или бесконечная (периодическая или непериодическая)
является прямая
является точка с абсциссой
Во всех точках некоторого интервала 
. Тогда 
на этом интервале
. Тогда на этом интервалемонотонно не убывает
возрастает
убывает
не убывает
и 
- две б.м. Если 
, то
и 
эквивалентны; иными словами составляет главную часть почти равно и одного порядкаи одинаковыОбласть значений функции есть
естьинтервал оси 
ось 
множество всех значений, принимаемых величиной 
совокупность значений аргумента функции
Предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
при стремлении к нулю называется
к приращению аргумента при стремлении к нулю называетсяпервообразной функцией 
производной функции
первым замечательным пределом
вторым замечательным пределом
. Тогда 
и 
- две дифференцируемые функции. Тогда 
есть
, если в рассматриваемой точке 
. Тогда 
Если 
- бесконечно малая последовательность и 
- бесконечно малая последовательность 
- последовательность
- бесконечно малая последовательность и - бесконечно малая последовательность - последовательностьбесконечно большая
ограниченная
бесконечно малая
неограниченная
равна
, еслипри некотором 
значения находятся в -полосе вокруг прямой 
значения находятся в -полосе вокруг прямой при выполняется неравенство 
выполняется неравенство значения 
находятся в -полосе вокруг прямой 
находятся в -полосе вокруг прямой для любого найдется такое 
, что при 
имеет место неравенство 
, т.е. при любом 
можно найти такое 
, что при 
значения попадают в 
-полосу, построенную вокруг прямой
найдется такое , что при имеет место неравенство , т.е. при любом можно найти такое , что при значения попадают в -полосу, построенную вокруг прямой Число 
называется пределом последовательности 
(
)
является
называется пределом последовательности () являетсябесконечно большой
ограниченной
бесконечно малой
равен
равен
. Тогда 
Функция 
на интервале (0, 4)
на интервале (0, 4)имеет максимум
монотонно убывает
имеет минимум
монотонно возрастает
Если - бесконечно малая последовательность и 
, при 
последовательность
- бесконечно малая последовательность и , при последовательностьбесконечно малая
меньшего порядка малости
большего порядка малости
бесконечно большая
является прямая
является точка с абсциссой
равен
: 
: 
: 
: 
и - две б.м., причем 
. Тогдавысшего порядкаи эквивалентнывысшего порядка
и одного порядкаи - две б.м., причем 
. Тогдаболее высокого порядкаи одного порядкаи эквивалентныпорядок выше
вышеДля функции 
точка М (3, - 4) является точкой
точка М (3, - 4) является точкойминимума
максимума
перегиба
разрыва
, 
, 
- сложная функция. Тогда 
если функция 
непрерывна
непрерывнаесли в рассматриваемой точке 
функция 
дифференцируема и функция 
дифференцируема в точке 
функция дифференцируема и функция дифференцируема в точке если 
и 
непрерывные функции
и непрерывные функциивсегда
Переменная величина является бесконечно большой (б.б.), если
является бесконечно большой (б.б.), если
- б.м., т.е. для 
, начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство 
больше любого числадля , начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство 
, начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство очень великаФункция 
имеет интервалов монотонности -
имеет интервалов монотонности -один
два
нет интервалов монотонности
три
равенТеорема Ролля верна, если функция
дифференцируема на 
и 
и непрерывна на 
, дифференцируема на и 
, дифференцируема на и непрерывна на и дифференцируема по крайней мере на
и дифференцируема по крайней мере на непрерывна на и
и и - две эквивалентные б.м. Тогда 
бесконечно малая высшего порядка в сравнении с
является бесконечно малой
Если - бесконечно малая последовательность и постоянная 
последовательность
- бесконечно малая последовательность и постоянная последовательностьограниченная
неограниченная
бесконечно малая
бесконечно большая
и 
, или 
Число есть предел функции при 
, если
есть предел функции при , еслидля 
выполняется неравенство
выполняется неравенство при значение лежит в -окрестности числа 
значение лежит в -окрестности числа для любого найдется 
такое, что при всех , попадающих в 
-окрестность точки , кроме, быть может, 
, выполняется неравенство
найдется такое, что при всех , попадающих в -окрестность точки , кроме, быть может, , выполняется неравенство для 
такое, что при всех , попавших в 
-окрестность точки 
, выполняется неравенство
такое, что при всех , попавших в -окрестность точки , выполняется неравенство На интервале 
непрерывная функция имеет единственную точку максимума 
, 
, и не имеет других точек экстремума. Ее наименьшее значение на будет
непрерывная функция имеет единственную точку максимума , , и не имеет других точек экстремума. Ее наименьшее значение на будетпри 
в критической точке
при 
либо 
, либо 
, либо 
, 
- две б.м. при 
. Тогда ониодного порядка
- высшего порядка
не сравнимы