Математика (курс 11)
Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = ![image097.gif](/discipline-images/295612/image097.gif)
:
![image097.gif](/discipline-images/295612/image097.gif)
![image098.gif](/discipline-images/295612/image098.gif)
{-
; 0,1}
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
{-10;3}
{-0,1;
}
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
{-3;10}
Уравнение x(t) - ![image076.gif](/discipline-images/295612/image076.gif)
x(s)ds = et является интегральным уравнением
![image076.gif](/discipline-images/295612/image076.gif)
![image077.gif](/discipline-images/295612/image077.gif)
Вольтерра первого рода
Фредгольма первого рода
Вольтерра второго рода
Фредгольма второго рода
Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {-1,0,1} , v {5,4,-3} евклидова пространства R3 даёт векторы u,w, причем вектор w равен
{4,1,1}
{1,4,4}
{1,1,4}
{1,4,1}
Расстояние от f(x) до g(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле: r(f(x),g(x)) = ![image023.gif](/discipline-images/295612/image023.gif)
Тогда расстояние между х3 + 3х2 + 1 и 24х в С [0,3] равно
![image023.gif](/discipline-images/295612/image023.gif)
![image024.gif](/discipline-images/295612/image024.gif)
35
15
27
17
Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) =
; (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx ;
=
. Тогда косинус угла между элементами x2 и x3 в пространстве L2 [0,2] равен
![image033.gif](/discipline-images/295612/image033.gif)
![image025.gif](/discipline-images/295612/image025.gif)
![image015.gif](/discipline-images/295612/image015.gif)
![image017.gif](/discipline-images/295612/image017.gif)
- ![image034.gif](/discipline-images/295612/image034.gif)
![image034.gif](/discipline-images/295612/image034.gif)
![image036.gif](/discipline-images/295612/image036.gif)
- ![image035.gif](/discipline-images/295612/image035.gif)
![image035.gif](/discipline-images/295612/image035.gif)
![image034.gif](/discipline-images/295612/image034.gif)
Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q =
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx - 1 отрезка [-
;
] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
![image038.gif](/discipline-images/295612/image038.gif)
![image009.gif](/discipline-images/295612/image009.gif)
![image010.gif](/discipline-images/295612/image010.gif)
![image013.gif](/discipline-images/295612/image013.gif)
![image014.gif](/discipline-images/295612/image014.gif)
-![image039.gif](/discipline-images/295612/image039.gif)
![image039.gif](/discipline-images/295612/image039.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295612/image011.gif)
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при sinx равен
2
1
4
0
Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q =
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = e 0,5x - 1 отрезка [-0,5;0,5] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
![image038.gif](/discipline-images/295612/image038.gif)
![image041.gif](/discipline-images/295612/image041.gif)
0,5![image041.gif](/discipline-images/295612/image041.gif)
![image041.gif](/discipline-images/295612/image041.gif)
![image040.gif](/discipline-images/295612/image040.gif)
0,5![image040.gif](/discipline-images/295612/image040.gif)
![image040.gif](/discipline-images/295612/image040.gif)
Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В =
Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна
![image062.gif](/discipline-images/295612/image062.gif)
1,5
2,5
1,9
0,5
Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) =
; (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx ;
=
. Тогда косинус угла между элементами x и x3 в пространстве L2 [0,3] равен
![image028.gif](/discipline-images/295612/image028.gif)
![image025.gif](/discipline-images/295612/image025.gif)
![image015.gif](/discipline-images/295612/image015.gif)
![image017.gif](/discipline-images/295612/image017.gif)
![image029.gif](/discipline-images/295612/image029.gif)
![image032.gif](/discipline-images/295612/image032.gif)
- ![image030.gif](/discipline-images/295612/image030.gif)
![image030.gif](/discipline-images/295612/image030.gif)
- ![image031.gif](/discipline-images/295612/image031.gif)
![image031.gif](/discipline-images/295612/image031.gif)
Уравнение
( t6+s6)x(s)ds = sint является интегральным уравнением
![image074.gif](/discipline-images/295612/image074.gif)
Фредгольма первого рода
Вольтерра второго рода
Фредгольма второго рода
Вольтерра первого рода
Наилучшее линейное приближение функции x3 в пространстве L2[-1,1] равно
1 + 0,6x
1 + 0,4x
0,6x
0,4x
Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,0} , v {3,-7,-2} евклидова пространства R3 даёт векторы u,w, причем вектор w равен
{5,-5,-2}
{-2,5,5}
{-5,2,5}
{-5,2,-2}
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сos2x равен
2
0
1
-1
Уравнение
(2t2 - sins)x(s)ds = tgt является интегральным уравнением
![image073.gif](/discipline-images/295612/image073.gif)
Вольтерра первого рода
Фредгольма первого рода
Вольтерра второго рода
Фредгольма второго рода
Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = ![image092.gif](/discipline-images/295612/image092.gif)
:
![image092.gif](/discipline-images/295612/image092.gif)
![image093.gif](/discipline-images/295612/image093.gif)
{1;6}
{-6;-1}
{
; 1}
![image070.gif](/discipline-images/295612/image070.gif)
{-1;-
}
![image070.gif](/discipline-images/295612/image070.gif)
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества (-1,+¥) является
(-1,+ ¥)
(-¥,-1]
[-1,+ ¥)
[-1,+ ¥]
Уравнение х(t) -
ln(t2s - s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением
![image073.gif](/discipline-images/295612/image073.gif)
Вольтерра первого рода
Фредгольма второго рода
Вольтерра второго рода
Фредгольма первого рода
Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 =
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = 3x2 +5x +1 по многочленам Лежандра имеет вид:
![image042.gif](/discipline-images/295612/image042.gif)
f(x) = P0 + 3P1 + 5P2
f(x) = 3P0 + 5P1 + P2
f(x) = 5P0 + 2P1 + 5P2
f(x) = 2P0 + 5P1 + 2P2
Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В =
Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = (ts)6 в пространстве L2[0,1] равна
![image062.gif](/discipline-images/295612/image062.gif)
![image071.gif](/discipline-images/295612/image071.gif)
![image070.gif](/discipline-images/295612/image070.gif)
![image069.gif](/discipline-images/295612/image069.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
Норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (a1+b1i)z1, (a2+b2i)z2, (a3+b3i)z3 ) на унитарном пространстве С3 определяется по формуле
= max{
,
,
}. Тогда норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (-3-i)z1, (3-4i)z2, (2+2i)z3 ) равна
![image050.gif](/discipline-images/295612/image050.gif)
![image051.gif](/discipline-images/295612/image051.gif)
![image052.gif](/discipline-images/295612/image052.gif)
![image053.gif](/discipline-images/295612/image053.gif)
5
![image056.gif](/discipline-images/295612/image056.gif)
4
![image057.gif](/discipline-images/295612/image057.gif)
Наилучшее линейное приближение функции cosx в пространстве L2[-1,1] равно
2sin1
2cos1
cos1
sin1
Уравнение
ln(t2+ts+s2)x(s)ds = t + 3 является интегральным уравнением
![image073.gif](/discipline-images/295612/image073.gif)
Фредгольма второго рода
Вольтерра второго рода
Вольтерра первого рода
Фредгольма первого рода
Расстояние от f(x) до g(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле: r(f(x),g(x)) = ![image016.gif](/discipline-images/295612/image016.gif)
Тогда расстояние между 2х3 + 2 и 3x2 + 12х в С[-1,3] равно
![image016.gif](/discipline-images/295612/image016.gif)
![image024.gif](/discipline-images/295612/image024.gif)
8
9
18
19
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества всех рациональных чисел является множество
всех вещественных чисел
всех рациональных чисел
Æ - пустое множество
всех иррациональных чисел
Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В =
Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] равна
![image062.gif](/discipline-images/295612/image062.gif)
![image068.gif](/discipline-images/295612/image068.gif)
![image067.gif](/discipline-images/295612/image067.gif)
![image027.gif](/discipline-images/295612/image027.gif)
![image009.gif](/discipline-images/295612/image009.gif)
Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при l <
, где В =
. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
et+s x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
![image025.gif](/discipline-images/295612/image025.gif)
![image078.gif](/discipline-images/295612/image078.gif)
![image062.gif](/discipline-images/295612/image062.gif)
![image086.gif](/discipline-images/295612/image086.gif)
![image087.gif](/discipline-images/295612/image087.gif)
![image088.gif](/discipline-images/295612/image088.gif)
![image089.gif](/discipline-images/295612/image089.gif)
![image042.gif](/discipline-images/295612/image042.gif)
Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В =
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] равна
![image062.gif](/discipline-images/295612/image062.gif)
![image063.gif](/discipline-images/295612/image063.gif)
![image065.gif](/discipline-images/295612/image065.gif)
![image066.gif](/discipline-images/295612/image066.gif)
![image064.gif](/discipline-images/295612/image064.gif)
Уравнение х(t) -
cos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением
![image072.gif](/discipline-images/295612/image072.gif)
Вольтерра второго рода
Фредгольма второго рода
Фредгольма первого рода
Вольтерра первого рода
Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при l <
, где В =
. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
![image025.gif](/discipline-images/295612/image025.gif)
![image078.gif](/discipline-images/295612/image078.gif)
![image062.gif](/discipline-images/295612/image062.gif)
![image074.gif](/discipline-images/295612/image074.gif)
9
8
6
7
Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 =
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:
![image042.gif](/discipline-images/295612/image042.gif)
f(x) = -5P0 + P1 - 6P2
f(x) = -7P0 + P1 - 4P2
f(x) = -6P0 + 2P1 - 5P2
f(x) = -6P0 + P1 - 5P2
Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {0,1,-1} , v {-2,2,4} евклидова пространства R3 даёт векторы u,w, причем вектор w равен
{-3,2,3}
{-2,2,3}
{-2,3,3}
{-3,2,2}
Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A=![image004.gif](/discipline-images/295612/image004.gif)
![image004.gif](/discipline-images/295612/image004.gif)
{
;
}
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
{-7;-3}
{3;7}
{-
;
}
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства х2siny < 1 является множество решений
х2siny £ 1
х2siny = 1
х2siny > 1
х2siny ³ 1
Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = ![image001.gif](/discipline-images/295612/image001.gif)
:
![image001.gif](/discipline-images/295612/image001.gif)
![image002.gif](/discipline-images/295612/image002.gif)
(-¥;-7) È (-7;-2) È (-2;+ ¥)
(-¥;
) È (
; 0,5 ) È (0,5;+ ¥)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
(-¥;2) È (2;7) È (7;+ ¥)
(-¥;-0,5) È (-0,5; -
) È (-
;+ ¥)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q =
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = х3 отрезка [-0,5 ; 0,4] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
![image038.gif](/discipline-images/295612/image038.gif)
0,75
0,5
0,48
-0,75
Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,1} , v {1,2,3} евклидова пространства R3 даёт векторы u,w, причем вектор w равен
{-1,1,0}
{-1,0,1}
{0,1,-1}
{1,0,1}
Норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (a1+b1i)z1, (a2+b2i)z2, (a3+b3i)z3 ) на унитарном пространстве С3 определяется по формуле
= max{
,
,
}. Тогда норма оператора А (z1,z2,z3) = ( 4z1, (3+3i)z2, (3-3i)z3 ) равна
![image050.gif](/discipline-images/295612/image050.gif)
![image051.gif](/discipline-images/295612/image051.gif)
![image052.gif](/discipline-images/295612/image052.gif)
![image053.gif](/discipline-images/295612/image053.gif)
![image060.gif](/discipline-images/295612/image060.gif)
3
![image061.gif](/discipline-images/295612/image061.gif)
4
Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) =
; (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx ;
=
. Тогда косинус угла между элементами x4 и 1 в пространстве L2 [0,2] равен
![image028.gif](/discipline-images/295612/image028.gif)
![image025.gif](/discipline-images/295612/image025.gif)
![image015.gif](/discipline-images/295612/image015.gif)
![image017.gif](/discipline-images/295612/image017.gif)
0,8
-0,1
-0,5
0,6
Уравнение ![image074.gif](/discipline-images/295612/image074.gif)
x(s)ds = 2t2 является интегральным уравнением
![image074.gif](/discipline-images/295612/image074.gif)
![image075.gif](/discipline-images/295612/image075.gif)
Вольтерра второго рода
Вольтерра первого рода
Фредгольма первого рода
Фредгольма второго рода
Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) =
f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 3x2 и cosx3 в пространстве L2 [0,2] равно
![image025.gif](/discipline-images/295612/image025.gif)
sin2
sin8
cos8
cos2
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен
0
-5
-2
-4
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства ex + 3x2y4 > 1 является множество решений
ex + 3x2y4 £ 1
ex + 3x2y4 < 1
ex + 3x2y4 = 1
ex + 3x2y4 ³ 1
Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = ![image094.gif](/discipline-images/295612/image094.gif)
:
![image094.gif](/discipline-images/295612/image094.gif)
![image095.gif](/discipline-images/295612/image095.gif)
(-¥,-4) È (-4,9) È (9,+ ¥)
(-¥;0,25) È (- 0,25;
) È (
;+ ¥)
![image096.gif](/discipline-images/295612/image096.gif)
![image096.gif](/discipline-images/295612/image096.gif)
(-¥,9) È (-9,4) È (4,+ ¥)
(-¥;-
) È (-
; 0,25) È (0,25;+ ¥)
![image096.gif](/discipline-images/295612/image096.gif)
![image096.gif](/discipline-images/295612/image096.gif)
Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества {1;2;3;…} является
{0}
{0;1;-1;2;-2;…}
Æ - пустое множество
{1;2;3;…}
Норма элемента f(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле:
= ![image007.gif](/discipline-images/295612/image007.gif)
. Тогда норма элемента sinx в пространстве С [-
,
] равна
![image006.gif](/discipline-images/295612/image006.gif)
![image007.gif](/discipline-images/295612/image007.gif)
![image008.gif](/discipline-images/295612/image008.gif)
![image009.gif](/discipline-images/295612/image009.gif)
![image010.gif](/discipline-images/295612/image010.gif)
![image012.gif](/discipline-images/295612/image012.gif)
![image013.gif](/discipline-images/295612/image013.gif)
![image014.gif](/discipline-images/295612/image014.gif)
![image011.gif](/discipline-images/295612/image011.gif)
Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A=![image004.gif](/discipline-images/295612/image004.gif)
![image004.gif](/discipline-images/295612/image004.gif)
(-¥;3) È (3;7) È (7;+ ¥)
(-¥;
) È (
;
) È (
;+ ¥)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
(-¥;-
) È (-
; -
) È (-
;+ ¥)
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
![image005.gif](/discipline-images/295612/image005.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
![image003.gif](/discipline-images/295612/image003.gif)
(-¥;-7) È (-7;-3) È (-3;+ ¥)
Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 =
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -3x2 + 4 по многочленам Лежандра имеет вид:
![image042.gif](/discipline-images/295612/image042.gif)
f(x) = -3P0 + 4P2
f(x) = 2P0 - 3P2
f(x) = 4P0 - 3P2
f(x) = 3P0 - 2P2