Линейная алгебра (курс 2)
Дана плоскость x + y + z – 6 = 0 и точки M1(1,–1,3) и M2(2,0,4)
прямая M1M2 перпендикулярна плоскости
прямая M1M2 параллельна плоскости
точка M1 удалена от плоскости на расстояние d = 1
прямая M1M2 лежит на плоскости
В сечении поверхности x2 – y2 + z2 = 0 координатной плоскостью XOY получим
эллипс
пару прямых
точку
гиперболу
Прямая
перпендикулярна плоскости x – 2y – 3z + 9 = 0 при λ, равном
![image041.gif](/discipline-images/316534/image041.gif)
ни при каком λ
4
–4
–10
Даны плоскости 1) 2x + 6y – 3z + 14 = 0; 2) 3x + 2y – 6z + 21 = 0; 3) 6x + 3y – 2z + 7 = 0. На расстоянии d = 3 от точки M0(0,0,–7) отстоят плоскости
никакая
2, 3
1, 3
3
Дана плоскость x + y + z – 9 = 0 и точка M(3,3,3), тогда
точка М не лежит на плоскости
точка М и начало координат лежат на плоскости
точка М является проекцией начала координат на плоскость
точка М отстоит от плоскости на расстоянии 9
Прямая x = 2λt – 1, y = λt + 1, z = – t – 2 перпендикулярна плоскости 2x + y – z + 5 = 0 при λ равном ___ (число)
Установите верные соответствия между поверхностью
и ее сечениями с плоскостями
![image190.gif](/discipline-images/316534/image190.gif)
x = a
точка
XOZ
пара пересекающихся прямых
XOY
равнобочная гипербола
Плоскость, проходящая через точку M1(1,–1,–1) перпендикулярно к прямой
, задается уравнением
![image075.gif](/discipline-images/316534/image075.gif)
2x – 3y + 4z – 5 = 0
2x – 3y + 4z = 0
2x – 3y + 4z + 1 = 0
2x – 3y + 4z – 1 = 0
Прямая
параллельна плоскости 7x + λy – 3z + 10 = 0 при λ равном ___ (число)
![image196.gif](/discipline-images/316534/image196.gif)
Установите соответствие между изображением поверхности и ее названием.
![image226.jpg](/discipline-images/316534/image226.jpg)
гиперболический параболоид
![image227.jpg](/discipline-images/316534/image227.jpg)
эллиптический параболоид
![image225.jpg](/discipline-images/316534/image225.jpg)
однополостный гиперболоид
Горловым сечением однополосного гиперболоида x2 + y2 – z2 – 4x = 0 является
окружность с центом (0,0,0) и радиусом R = 4
эллипс с центом (2,0,0) и полуосями a = 2, b = 1
эллипс с центом (0,0,0) и полуосями a = 1, b = 2
окружность с центом (2,0,0) и радиусом R = 2
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(2,0,–3), перпендикулярно плоскости
, имеет вид
![image033.gif](/discipline-images/316534/image033.gif)
![image036.gif](/discipline-images/316534/image036.gif)
![image037.gif](/discipline-images/316534/image037.gif)
![image035.gif](/discipline-images/316534/image035.gif)
![image034.gif](/discipline-images/316534/image034.gif)
Даны точки M1(1,1,1) и M2(0,1,1). Точка M2 является
проекцией M1 на плоскость x + y + z = 2
проекцией M1 на плоскость YOZ
основанием перпендикуляра, опущенного из M1 на плоскость YOZ
проекцией M1 на ось OX
Прямая ![image125.gif](/discipline-images/316534/image125.gif)
![image125.gif](/discipline-images/316534/image125.gif)
перпендикулярна плоскости 2x + y – 1 = 0
имеет направляющий вектор ![image127.gif](/discipline-images/316534/image127.gif)
![image127.gif](/discipline-images/316534/image127.gif)
проходит через точку ![image126.gif](/discipline-images/316534/image126.gif)
![image126.gif](/discipline-images/316534/image126.gif)
лежит на плоскости 2x + y – 1 = 0
Уравнение x2 + y2 – z2 – 4x = 0 определяет
сфера с центом (2,0,0) и радиусом R = 2
однополостный гиперболоид с центом симметрии в точке (2,0,0)
эллипсоид с центом (2,0,0)
однополостный гиперболоид с центом симметрии в точке (0,0,0)
Даны плоскости 1) 2x + 2y – z + 6 = 0, 2) x – 2y + 2z – 6 = 0, 3) 2x + 4y – 4z – 12 = 0. Пусть d1, d2, d3 – расстояния от начала координат до каждой плоскости соответственно. Тогда
d1 = d2 = d3
d1 + d2 = d3
d3 = 2d1, d1 = d2
d2 = 2d1, d3 = d2
Плоскость x + 2y + 1 =0
параллельна плоскости XOY
перпендикулярна оси OZ
проходит через точку М(1,2,1)
параллельна оси OZ
Прямая
пересекается с плоскостью x – y – z + 3 = 0 в точке
![image039.gif](/discipline-images/316534/image039.gif)
M(2, –1,3)
M(0,1,–2)
M(1, –1,–1)
нет точек пересечения
Прямая
пересекает поверхность
в точках
![image163.gif](/discipline-images/316534/image163.gif)
![image164.gif](/discipline-images/316534/image164.gif)
прямая не пересекает поверхность
прямая лежит на поверхности
М1(1,2,–1) и М2(0,2,–1)
в множестве точек
Уравнение x2 + z2 = 0 в пространстве определяет
точку (0,0,0)
окружность
мнимую окружность
ось OY
Даны плоскость 2x + 2y – z + 6 = 0 и точки М1(3,0,3) и М2(7,4,5). Пусть d1 – расстояние от точки М1 до плоскости, d2 – расстояние между точками М1 и М2, тогда
d1 > d2
d1 = 2d2
d2 = d1
d2 = 2d1
Укажите верные соответствия уравнений плоскостей координатным плоскостям, им параллельным
Cz + D = 0, C ≠ 0
Oyz
By + D = 0, B ≠ 0
OXz
Ax + D = 0, A ≠ 0
OXy
Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки
и
, имеет вид
![image151.gif](/discipline-images/316534/image151.gif)
![image152.gif](/discipline-images/316534/image152.gif)
![image154.gif](/discipline-images/316534/image154.gif)
![image153.gif](/discipline-images/316534/image153.gif)
–x + 3y – z = 0
x + 3y – z = 0
Укажите верные соответствия
Ax + By + Dz = 0
уравнение плоскости в отрезках
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
плоскость проходит через точку M0(xo, y0, z0) перпендикулярно вектору ![image171.gif](/discipline-images/316534/image171.gif)
![image171.gif](/discipline-images/316534/image171.gif)
![image172.gif](/discipline-images/316534/image172.gif)
уравнение плоскости, проходящей через начало координат
Дана прямая
и плоскость Ax + By + Cz + D = 0. Установите верные соответствия между их взаимным расположением и данными условиями
![image178.gif](/discipline-images/316534/image178.gif)
Al + Bm + Cn = 0
прямая лежит в плоскости
![image179.gif](/discipline-images/316534/image179.gif)
прямая перпендикулярна плоскости
Al + Bm + Cn = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
прямая параллельна плоскости
Уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
, имеет вид
![image018.gif](/discipline-images/316534/image018.gif)
![image019.gif](/discipline-images/316534/image019.gif)
![image021.gif](/discipline-images/316534/image021.gif)
![image020.gif](/discipline-images/316534/image020.gif)
![image023.gif](/discipline-images/316534/image023.gif)
![image022.gif](/discipline-images/316534/image022.gif)
Плоскость z + 1 = 0 пересекает гиперболоид
по
![image085.gif](/discipline-images/316534/image085.gif)
гиперболе ![image086.gif](/discipline-images/316534/image086.gif)
![image086.gif](/discipline-images/316534/image086.gif)
эллипсу
гиперболе с полуосями a = 16, b = 9
эллипсу с полуосями a = 4, b = 3
Уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 3x + y – 2z +5 = 0, имеет вид
![image043.gif](/discipline-images/316534/image043.gif)
x = y = z
![image044.gif](/discipline-images/316534/image044.gif)
3x = y = – 2z
Прямая
пересекается с плоскостью 2x – y + 3z – 7 = 0 в точке
![image039.gif](/discipline-images/316534/image039.gif)
нет точек пересечения
M(0,1,–2)
M(2,0,1)
M(2,–1,3)
Установите верные соответствия
z = 0
уравнение оси OX
![image181.gif](/discipline-images/316534/image181.gif)
уравнение оси OY
![image180.gif](/discipline-images/316534/image180.gif)
уравнение плоскости XOY
Проекцией точки M1(2,1,6) на плоскость YOZ является точка
M2(2,1,0)
M2(2,0,6)
M2(2,0,0)
M2(0,1,6)
Нормаль к плоскости 2y – z + 2 = 0
параллельна оси OZ
перпендикулярна плоскости z = 0
параллельна плоскости XOY
перпендикулярна оси OX
Уравнение x2 – 4y2 = 4 в пространстве определяет
гиперболоид (однополостный)
цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OZ
гиперболу ![image169.gif](/discipline-images/316534/image169.gif)
![image169.gif](/discipline-images/316534/image169.gif)
цилиндрическую поверхность имеющей направляющей гиперболу с полуосями a = 2, b = 1; образующие параллельны оси OZ
Даны плоскости: 1) x + 2y – 2z – 4 = 0; 2) x + 2y – 2z + 8 = 0; 3) x + 2y – 2z + 2 = 0
расстояние от плоскости 3) до плоскости 1) равно 2
расстояние от плоскости 3) до плоскости 2) равно 8
плоскость 3) равноудалена от плоскостей 1) и 2)
расстояние от плоскости 3) до плоскости 2) вдвое больше расстояния до плоскости 1)
Уравнение x2 + z2 – 4z + 2y = 0 определяет
гиперболический параболоид с вершиной (0,–2, 2)
параболоид вращения с осью симметрии, параллельной оси OY
эллиптический параболоид с вершиной (0,–2, 2)
Прямая
и плоскость y – z + 5 = 0
![image062.gif](/discipline-images/316534/image062.gif)
прямая лежит в плоскости
перпендикулярны
пересекаются
параллельны
Даны плоскости 1) x + 2y – 2z + 3 = 0 и 2) x + 2y – 2z – 6 = 0 и точка M0(1,1,0)
расстояние от M0 до плоскости 1) вдвое больше, чем до плоскости 2)
расстояние от M0 до плоскости 1) d1 = 6, а до плоскости 2) d2 = 3
расстояние d1 от M0 до плоскости 1) d1 = 2, а расстояние до плоскости 2) d2 = 1
точка M0 равноудалена от плоскостей 1) и 2)
Прямая x = 2λt – 1, y = λt + 1, z = – t параллельна плоскости x + 2y – 4z + 1 = 0 при λ равном ___ (число)
Плоскость y – 3 = 0 пересекает поверхность
по
![image085.gif](/discipline-images/316534/image085.gif)
гиперболе ![image095.gif](/discipline-images/316534/image095.gif)
![image095.gif](/discipline-images/316534/image095.gif)
в единственной точке (16,9,1)
параболе
эллипсу ![image094.gif](/discipline-images/316534/image094.gif)
![image094.gif](/discipline-images/316534/image094.gif)
Даны плоскости
и
. Укажите верные соответствия
![image173.gif](/discipline-images/316534/image173.gif)
![image174.gif](/discipline-images/316534/image174.gif)
![image177.gif](/discipline-images/316534/image177.gif)
плоскости перпендикулярны
![image175.gif](/discipline-images/316534/image175.gif)
плоскости параллельны
![image176.gif](/discipline-images/316534/image176.gif)
плоскости совпадают
Прямая
параллельна координатной плоскости
![image042.gif](/discipline-images/316534/image042.gif)
YOZ
ни одной координатной плоскости не параллельна
XOY
XOZ
Установите соответствие между поверхностью второго порядка и ее уравнением.
Двуполостный гиперболоид
![image231.jpg](/discipline-images/316534/image231.jpg)
Однополостный гиперболоид
![image232.jpg](/discipline-images/316534/image232.jpg)
Эллипсоид
![image233.jpg](/discipline-images/316534/image233.jpg)
Дана плоскость x + y + z – 6 = 0 и точки M1(1,–1,3), M2(2,0,4)
расстояние от точки M2 до плоскости равно 1
прямая M1M2 лежит на плоскости
обе точки лежат на плоскости
расстояние от точки M2 до плоскости равно 0