Дифференциальное исчисление функций одной переменной
, где ; - это
производная сложной функции
промежуточный аргумент
сложная функция от ; функция от функции; суперпозиция функций и
функция от
и - две б.м. Если , то
и одного порядка
почти равно
и одинаковы
и эквивалентны; иными словами составляет главную часть
Между точками на числовой оси и действительными числами установлено соответствие
взаимно однозначное
служащее для изображения рациональных чисел
однозначное
служащее для изображения целых чисел
Теорема Лагранжа верна, если функция
непрерывна на
дифференцируема на
непрерывна на и дифференцируема по крайней мере на
непрерывна и дифференцируема на
Положение точки , о которой говорится в теоремах Лагранжа, Ролля, Коши, находится
на середине отрезка
в одном из концов интервала
где-то между и :
в точке
Рациональное число - это
положительное число
конечная десятичная дробь
бесконечная десятичная дробь
отношение двух целых чисел
Вертикальной асимптотой графика функции является прямая
Для функции точка М(2, 0) является точкой
максимума
минимума
разрыва
перегиба
, если
при некотором значения находятся в -полосе вокруг прямой
для любого найдется такое , что при имеет место неравенство , т.е. при любом можно найти такое , что при значения попадают в -полосу, построенную вокруг прямой
значения находятся в -полосе вокруг прямой
при выполняется неравенство
Переменная величина является бесконечно большой (б.б.), если
больше любого числа
- б.м., т.е. для , начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство
очень велика
для , начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство
Интервалами монотонности функции будут:
один интервал
- возрастает
- возрастает
- убывает и - возрастает
и - две эквивалентные б.м. Тогда
является бесконечно малой
бесконечно малая высшего порядка в сравнении с
, - две б.м. при . Тогда они
одного порядка
- высшего порядка
эквивалентны
не сравнимы
, , - сложная функция. Тогда
если в рассматриваемой точке функция дифференцируема и функция дифференцируема в точке
если и непрерывные функции
если функция непрерывна
всегда
Если и - бесконечно малые последовательности последовательность
большего порядка малости
меньшего порядка малости
бесконечно большая
бесконечно малая
Функция имеет интервалов монотонности -
один
два
три
нет интервалов монотонности
Число есть предел функции при , если
при значение лежит в -окрестности числа
для любого найдется такое, что при всех , попадающих в -окрестность точки , кроме, быть может, , выполняется неравенство
для выполняется неравенство
для такое, что при всех , попавших в -окрестность точки , выполняется неравенство
Последовательность может иметь
любое количество пределов
два различных предела
только один предел
не больше двух разных пределов
Точкой перегиба функции является точка с абсциссой
Из перечисленных определений: 1) последовательность не может иметь двух различных пределов; 2) последовательность может иметь больше одного предела; 3) последовательность называют сходящейся, если она имеет конечный предел; 4) последовательность является ограниченной, если существует число такое, что для любого , верными будут
1, 3
1
1, 4
2, 3
Даны определения: 1) всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел; 2) последовательность называется монотонной, если она является убывающей; 3) последовательность называется невозрастающей, если ; 4) последовательность является возрастающей, если
1
3, 4
2, 3
1, 3
Число есть предел переменной величины , если
значения лежат в -окрестности
выполняется неравенство
какое бы (сколь угодно малое) число мы ни взяли, начиная с некоторого момента в изменении будет выполняться неравенство
значения лежат в интервале
Общее геометрическое содержание теорем Ролля, Лагранжа, Коши:
касательная всегда параллельна хорде
касательная в некоторой точке кривой параллельна оси
между двумя корнями функции лежит корень производной
на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей концы кривой
Последовательность , при является
неограниченной
ограниченной
бесконечно большой
бесконечно малой
Последовательность является
бесконечно малой
бесконечно большой
неограниченной
ограниченной
Для функции точка М (3, - 4) является точкой
минимума
максимума
перегиба
разрыва
Если и - две переменные величины, причем , , то есть
не определен
, если
не связан с и
Действительные числа - это
целые числа
положительные числа
рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные числа и число нуль
числа, которые действительно существуют
Свойство инвариантности формы записи дифференциала функции означает, что
во всех случаях дифференциал является главной частью приращения функции
дифференциал
форма записи дифференциала сохраняется, когда перестает быть независимой переменной
форма записи дифференциала не зависит от того, будет ли независимой переменной или функцией от другой переменной
Для функции точка М (1, 0) является точкой
минимума
перегиба
разрыва
максимума