Дифференциальное исчисление функций одной переменной
![image324.gif](/discipline-images/250972/image324.gif)
![image325.gif](/discipline-images/250972/image325.gif)
![image326.gif](/discipline-images/250972/image326.gif)
производная сложной функции
промежуточный аргумент
сложная функция от
; функция от функции; суперпозиция функций
и ![image328.gif](/discipline-images/250972/image328.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image327.gif](/discipline-images/250972/image327.gif)
![image328.gif](/discipline-images/250972/image328.gif)
функция от ![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
![image282.gif](/discipline-images/250972/image282.gif)
![image283.gif](/discipline-images/250972/image283.gif)
![image293.gif](/discipline-images/250972/image293.gif)
![image290.gif](/discipline-images/250972/image290.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
![image290.gif](/discipline-images/250972/image290.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
![image290.gif](/discipline-images/250972/image290.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
![image290.gif](/discipline-images/250972/image290.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
![image290.gif](/discipline-images/250972/image290.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
Между точками на числовой оси и действительными числами установлено соответствие
взаимно однозначное
служащее для изображения рациональных чисел
однозначное
служащее для изображения целых чисел
Теорема Лагранжа верна, если функция ![image165.gif](/discipline-images/250972/image165.gif)
![image165.gif](/discipline-images/250972/image165.gif)
непрерывна на ![image368.gif](/discipline-images/250972/image368.gif)
![image368.gif](/discipline-images/250972/image368.gif)
дифференцируема на ![image369.gif](/discipline-images/250972/image369.gif)
![image369.gif](/discipline-images/250972/image369.gif)
непрерывна на
и дифференцируема по крайней мере на ![image371.gif](/discipline-images/250972/image371.gif)
![image370.gif](/discipline-images/250972/image370.gif)
![image371.gif](/discipline-images/250972/image371.gif)
непрерывна и дифференцируема на ![image369.gif](/discipline-images/250972/image369.gif)
![image369.gif](/discipline-images/250972/image369.gif)
Положение точки
, о которой говорится в теоремах Лагранжа, Ролля, Коши, находится
![image378.gif](/discipline-images/250972/image378.gif)
на середине отрезка ![image370.gif](/discipline-images/250972/image370.gif)
![image370.gif](/discipline-images/250972/image370.gif)
в одном из концов интервала
где-то между
и
: ![image380.gif](/discipline-images/250972/image380.gif)
![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
![image243.gif](/discipline-images/250972/image243.gif)
![image380.gif](/discipline-images/250972/image380.gif)
в точке ![image379.gif](/discipline-images/250972/image379.gif)
![image379.gif](/discipline-images/250972/image379.gif)
Рациональное число - это
положительное число
конечная десятичная дробь
бесконечная десятичная дробь
отношение двух целых чисел
Вертикальной асимптотой графика функции
является прямая
![image096.gif](/discipline-images/250972/image096.gif)
![image097.gif](/discipline-images/250972/image097.gif)
![image099.gif](/discipline-images/250972/image099.gif)
![image098.gif](/discipline-images/250972/image098.gif)
![image089.gif](/discipline-images/250972/image089.gif)
Для функции
точка М(2, 0) является точкой
![image151.gif](/discipline-images/250972/image151.gif)
максимума
минимума
разрыва
перегиба
![image231.gif](/discipline-images/250972/image231.gif)
при некотором
значения
находятся в
-полосе вокруг прямой ![image234.gif](/discipline-images/250972/image234.gif)
![image217.gif](/discipline-images/250972/image217.gif)
![image165.gif](/discipline-images/250972/image165.gif)
![image221.gif](/discipline-images/250972/image221.gif)
![image234.gif](/discipline-images/250972/image234.gif)
для любого
найдется такое
, что при
имеет место неравенство
, т.е. при любом
можно найти такое
, что при
значения
попадают в
-полосу, построенную вокруг прямой ![image234.gif](/discipline-images/250972/image234.gif)
![image217.gif](/discipline-images/250972/image217.gif)
![image235.gif](/discipline-images/250972/image235.gif)
![image236.gif](/discipline-images/250972/image236.gif)
![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
![image237.gif](/discipline-images/250972/image237.gif)
![image238.gif](/discipline-images/250972/image238.gif)
![image239.gif](/discipline-images/250972/image239.gif)
![image232.gif](/discipline-images/250972/image232.gif)
![image221.gif](/discipline-images/250972/image221.gif)
![image234.gif](/discipline-images/250972/image234.gif)
значения
находятся в
-полосе вокруг прямой ![image233.gif](/discipline-images/250972/image233.gif)
![image232.gif](/discipline-images/250972/image232.gif)
![image221.gif](/discipline-images/250972/image221.gif)
![image233.gif](/discipline-images/250972/image233.gif)
при
выполняется неравенство ![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
![image220.gif](/discipline-images/250972/image220.gif)
![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
Переменная величина
является бесконечно большой (б.б.), если
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
![image261.gif](/discipline-images/250972/image261.gif)
![image259.gif](/discipline-images/250972/image259.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image262.gif](/discipline-images/250972/image262.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
для
, начиная с некоторого момента в изменении
выполняется неравенство ![image260.gif](/discipline-images/250972/image260.gif)
![image259.gif](/discipline-images/250972/image259.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image260.gif](/discipline-images/250972/image260.gif)
Интервалами монотонности функции
будут:
![image388.gif](/discipline-images/250972/image388.gif)
один интервал ![image390.gif](/discipline-images/250972/image390.gif)
![image390.gif](/discipline-images/250972/image390.gif)
![image386.gif](/discipline-images/250972/image386.gif)
![image389.gif](/discipline-images/250972/image389.gif)
![image391.gif](/discipline-images/250972/image391.gif)
![image392.gif](/discipline-images/250972/image392.gif)
![image282.gif](/discipline-images/250972/image282.gif)
![image283.gif](/discipline-images/250972/image283.gif)
![image294.gif](/discipline-images/250972/image294.gif)
![image295.gif](/discipline-images/250972/image295.gif)
является бесконечно малой
![image296.gif](/discipline-images/250972/image296.gif)
бесконечно малая высшего порядка в сравнении с ![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250972/image291.gif)
![image304.gif](/discipline-images/250972/image304.gif)
![image305.gif](/discipline-images/250972/image305.gif)
![image300.gif](/discipline-images/250972/image300.gif)
одного порядка
![image290.gif](/discipline-images/250972/image290.gif)
эквивалентны
не сравнимы
![image324.gif](/discipline-images/250972/image324.gif)
![image325.gif](/discipline-images/250972/image325.gif)
![image329.gif](/discipline-images/250972/image329.gif)
![image330.gif](/discipline-images/250972/image330.gif)
если в рассматриваемой точке
функция
дифференцируема и функция
дифференцируема в точке ![image336.gif](/discipline-images/250972/image336.gif)
![image073.gif](/discipline-images/250972/image073.gif)
![image334.gif](/discipline-images/250972/image334.gif)
![image335.gif](/discipline-images/250972/image335.gif)
![image336.gif](/discipline-images/250972/image336.gif)
если
и
непрерывные функции
![image331.gif](/discipline-images/250972/image331.gif)
![image332.gif](/discipline-images/250972/image332.gif)
если функция
непрерывна
![image333.gif](/discipline-images/250972/image333.gif)
всегда
Если
и
- бесконечно малые последовательности
последовательность
![image420.gif](/discipline-images/250972/image420.gif)
![image003.gif](/discipline-images/250972/image003.gif)
![image421.gif](/discipline-images/250972/image421.gif)
большего порядка малости
меньшего порядка малости
бесконечно большая
бесконечно малая
Функция
имеет интервалов монотонности -
![image382.gif](/discipline-images/250972/image382.gif)
один
два
три
нет интервалов монотонности
Число
есть предел функции
при
, если
![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
![image165.gif](/discipline-images/250972/image165.gif)
![image219.gif](/discipline-images/250972/image219.gif)
при
значение
лежит в
-окрестности числа ![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
![image220.gif](/discipline-images/250972/image220.gif)
![image165.gif](/discipline-images/250972/image165.gif)
![image221.gif](/discipline-images/250972/image221.gif)
![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
для любого
найдется
такое, что при всех
, попадающих в
-окрестность точки
, кроме, быть может,
, выполняется неравенство ![image230.gif](/discipline-images/250972/image230.gif)
![image217.gif](/discipline-images/250972/image217.gif)
![image227.gif](/discipline-images/250972/image227.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
![image228.gif](/discipline-images/250972/image228.gif)
![image073.gif](/discipline-images/250972/image073.gif)
![image229.gif](/discipline-images/250972/image229.gif)
![image230.gif](/discipline-images/250972/image230.gif)
для
выполняется неравенство ![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
![image220.gif](/discipline-images/250972/image220.gif)
![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
для ![image223.gif](/discipline-images/250972/image223.gif)
такое, что при всех
, попавших в
-окрестность точки
, выполняется неравенство ![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
![image223.gif](/discipline-images/250972/image223.gif)
![image224.gif](/discipline-images/250972/image224.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image225.gif](/discipline-images/250972/image225.gif)
![image226.gif](/discipline-images/250972/image226.gif)
![image222.gif](/discipline-images/250972/image222.gif)
Последовательность может иметь
любое количество пределов
два различных предела
только один предел
не больше двух разных пределов
Точкой перегиба функции
является точка с абсциссой
![image087.gif](/discipline-images/250972/image087.gif)
![image083.gif](/discipline-images/250972/image083.gif)
![image089.gif](/discipline-images/250972/image089.gif)
![image088.gif](/discipline-images/250972/image088.gif)
![image080.gif](/discipline-images/250972/image080.gif)
Из перечисленных определений: 1) последовательность
не может иметь двух различных пределов; 2) последовательность
может иметь больше одного предела; 3) последовательность
называют сходящейся, если она имеет конечный предел; 4) последовательность
является ограниченной, если существует число
такое, что для любого ![image190.gif](/discipline-images/250972/image190.gif)
, верными будут
![image017.gif](/discipline-images/250972/image017.gif)
![image017.gif](/discipline-images/250972/image017.gif)
![image200.gif](/discipline-images/250972/image200.gif)
![image017.gif](/discipline-images/250972/image017.gif)
![image201.gif](/discipline-images/250972/image201.gif)
![image190.gif](/discipline-images/250972/image190.gif)
![image202.gif](/discipline-images/250972/image202.gif)
1, 3
1
1, 4
2, 3
Даны определения: 1) всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел; 2) последовательность
называется монотонной, если она является убывающей; 3) последовательность
называется невозрастающей, если
; 4) последовательность
является возрастающей, если ![image213.gif](/discipline-images/250972/image213.gif)
![image017.gif](/discipline-images/250972/image017.gif)
![image017.gif](/discipline-images/250972/image017.gif)
![image212.gif](/discipline-images/250972/image212.gif)
![image017.gif](/discipline-images/250972/image017.gif)
![image213.gif](/discipline-images/250972/image213.gif)
1
3, 4
2, 3
1, 3
Число
есть предел переменной величины
, если
![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
![image183.gif](/discipline-images/250972/image183.gif)
значения
лежат в
-окрестности ![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
![image214.gif](/discipline-images/250972/image214.gif)
![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
выполняется неравенство ![image215.gif](/discipline-images/250972/image215.gif)
![image215.gif](/discipline-images/250972/image215.gif)
какое бы (сколь угодно малое) число
мы ни взяли, начиная с некоторого момента в изменении
будет выполняться неравенство ![image218.gif](/discipline-images/250972/image218.gif)
![image217.gif](/discipline-images/250972/image217.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image218.gif](/discipline-images/250972/image218.gif)
значения
лежат в интервале ![image216.gif](/discipline-images/250972/image216.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
![image216.gif](/discipline-images/250972/image216.gif)
Общее геометрическое содержание теорем Ролля, Лагранжа, Коши:
касательная всегда параллельна хорде
касательная в некоторой точке кривой параллельна оси ![image381.gif](/discipline-images/250972/image381.gif)
![image381.gif](/discipline-images/250972/image381.gif)
между двумя корнями функции лежит корень производной
на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей концы кривой
Последовательность
, при
является
![image006.gif](/discipline-images/250972/image006.gif)
![image007.gif](/discipline-images/250972/image007.gif)
неограниченной
ограниченной
бесконечно большой
бесконечно малой
Последовательность
является
![image428.gif](/discipline-images/250972/image428.gif)
бесконечно малой
бесконечно большой
неограниченной
ограниченной
Для функции
точка М (3, - 4) является точкой
![image148.gif](/discipline-images/250972/image148.gif)
минимума
максимума
перегиба
разрыва
Если
и
- две переменные величины, причем
,
, то
есть
![image183.gif](/discipline-images/250972/image183.gif)
![image187.gif](/discipline-images/250972/image187.gif)
![image240.gif](/discipline-images/250972/image240.gif)
![image241.gif](/discipline-images/250972/image241.gif)
![image242.gif](/discipline-images/250972/image242.gif)
не определен
![image244.gif](/discipline-images/250972/image244.gif)
![image245.gif](/discipline-images/250972/image245.gif)
![image246.gif](/discipline-images/250972/image246.gif)
не связан с
и ![image243.gif](/discipline-images/250972/image243.gif)
![image016.gif](/discipline-images/250972/image016.gif)
![image243.gif](/discipline-images/250972/image243.gif)
Действительные числа - это
целые числа
положительные числа
рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные числа и число нуль
числа, которые действительно существуют
Свойство инвариантности формы записи дифференциала функции
означает, что
![image061.gif](/discipline-images/250972/image061.gif)
во всех случаях дифференциал является главной частью приращения функции
дифференциал ![image414.gif](/discipline-images/250972/image414.gif)
![image414.gif](/discipline-images/250972/image414.gif)
форма записи дифференциала
сохраняется, когда
перестает быть независимой переменной
![image415.gif](/discipline-images/250972/image415.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250972/image185.gif)
форма записи дифференциала
не зависит от того, будет ли
независимой переменной или функцией
от другой переменной
![image416.gif](/discipline-images/250972/image416.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250972/image186.gif)
![image417.gif](/discipline-images/250972/image417.gif)
Для функции
точка М (1, 0) является точкой
![image150.gif](/discipline-images/250972/image150.gif)
минимума
перегиба
разрыва
максимума