Дифференциальное исчисление функций одной переменной
, где 
; 
- этопроизводная сложной функции
промежуточный аргумент
сложная функция от 
; функция от функции; суперпозиция функций 
и 
; функция от функции; суперпозиция функций и функция от 
и 
- две б.м. Если 
, то
и 
одного порядкапочти равно и одинаковыи эквивалентны; иными словами составляет главную часть 
= равенМежду точками на числовой оси и действительными числами установлено соответствие
взаимно однозначное
служащее для изображения рациональных чисел
однозначное
служащее для изображения целых чисел
Теорема Лагранжа верна, если функция 
непрерывна на 
дифференцируема на 
непрерывна на 
и дифференцируема по крайней мере на 
и дифференцируема по крайней мере на непрерывна и дифференцируема на
Положение точки 
, о которой говорится в теоремах Лагранжа, Ролля, Коши, находится
, о которой говорится в теоремах Лагранжа, Ролля, Коши, находитсяна середине отрезка
в одном из концов интервала
где-то между 
и 
: 
и : в точке 
Рациональное число - это
положительное число
конечная десятичная дробь
бесконечная десятичная дробь
отношение двух целых чисел
равен
Вертикальной асимптотой графика функции 
является прямая
является прямая
=
Для функции 
точка М(2, 0) является точкой
точка М(2, 0) является точкоймаксимума
минимума
разрыва
перегиба
равен
, еслипри некотором 
значения находятся в 
-полосе вокруг прямой 
значения находятся в -полосе вокруг прямой для любого найдется такое 
, что при 
имеет место неравенство 
, т.е. при любом 
можно найти такое 
, что при 
значения 
попадают в -полосу, построенную вокруг прямой
найдется такое , что при имеет место неравенство , т.е. при любом можно найти такое , что при значения попадают в -полосу, построенную вокруг прямой значения находятся в -полосе вокруг прямой 
находятся в -полосе вокруг прямой при 
выполняется неравенство
выполняется неравенство Переменная величина является бесконечно большой (б.б.), если
является бесконечно большой (б.б.), еслибольше любого числа
- б.м., т.е. для 
, начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство 
очень великадля , начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство 
, начиная с некоторого момента в изменении выполняется неравенство Интервалами монотонности функции 
будут:
будут:один интервал 
- возрастает
- возрастает
- убывает и 
- возрастаети - две эквивалентные б.м. Тогда 
является бесконечно малой
бесконечно малая высшего порядка в сравнении с
равен
, тогда 
. Тогда 
, 
- две б.м. при 
. Тогда ониодного порядка
- высшего порядкаэквивалентны
не сравнимы
равен
, , 
- сложная функция. Тогда 
если в рассматриваемой точке 
функция 
дифференцируема и функция 
дифференцируема в точке 
функция дифференцируема и функция дифференцируема в точке если 
и 
непрерывные функции
и непрерывные функцииесли функция 
непрерывна
непрерывнавсегда
равен
Если 
и 
- бесконечно малые последовательности 
последовательность
и - бесконечно малые последовательности последовательностьбольшего порядка малости
меньшего порядка малости
бесконечно большая
бесконечно малая
равен
Функция 
имеет интервалов монотонности -
имеет интервалов монотонности -один
два
три
нет интервалов монотонности
Число есть предел функции при 
, если
есть предел функции при , еслипри значение лежит в -окрестности числа
значение лежит в -окрестности числа для любого найдется 
такое, что при всех , попадающих в 
-окрестность точки , кроме, быть может, 
, выполняется неравенство 
найдется такое, что при всех , попадающих в -окрестность точки , кроме, быть может, , выполняется неравенство для выполняется неравенство
выполняется неравенство для 
такое, что при всех , попавших в 
-окрестность точки 
, выполняется неравенство
такое, что при всех , попавших в -окрестность точки , выполняется неравенство Последовательность может иметь
любое количество пределов
два различных предела
только один предел
не больше двух разных пределов
Точкой перегиба функции 
является точка с абсциссой
является точка с абсциссой
Из перечисленных определений: 1) последовательность 
не может иметь двух различных пределов; 2) последовательность может иметь больше одного предела; 3) последовательность 
называют сходящейся, если она имеет конечный предел; 4) последовательность является ограниченной, если существует число 
такое, что для любого 
, верными будут
не может иметь двух различных пределов; 2) последовательность может иметь больше одного предела; 3) последовательность называют сходящейся, если она имеет конечный предел; 4) последовательность является ограниченной, если существует число такое, что для любого , верными будут1, 3
1
1, 4
2, 3
равен
. Тогда 
Даны определения: 1) всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел; 2) последовательность называется монотонной, если она является убывающей; 3) последовательность называется невозрастающей, если 
; 4) последовательность является возрастающей, если 
называется монотонной, если она является убывающей; 3) последовательность называется невозрастающей, если ; 4) последовательность является возрастающей, если 1
3, 4
2, 3
1, 3
Число есть предел переменной величины 
, если
есть предел переменной величины , еслизначения лежат в 
-окрестности
лежат в -окрестности выполняется неравенство 
какое бы (сколь угодно малое) число мы ни взяли, начиная с некоторого момента в изменении будет выполняться неравенство 
мы ни взяли, начиная с некоторого момента в изменении будет выполняться неравенство значения лежат в интервале 
лежат в интервале Общее геометрическое содержание теорем Ролля, Лагранжа, Коши:
касательная всегда параллельна хорде
касательная в некоторой точке кривой параллельна оси 
между двумя корнями функции лежит корень производной
на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей концы кривой
. Тогда 
Последовательность 
, при 
является
, при являетсянеограниченной
ограниченной
бесконечно большой
бесконечно малой
Последовательность 
является
являетсябесконечно малой
бесконечно большой
неограниченной
ограниченной
Для функции 
точка М (3, - 4) является точкой
точка М (3, - 4) является точкойминимума
максимума
перегиба
разрыва
Если и 
- две переменные величины, причем 
, 
, то 
есть
и - две переменные величины, причем , , то естьне определен
, если 
не связан с и
и Действительные числа - это
целые числа
положительные числа
рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные числа и число нуль
числа, которые действительно существуют
Свойство инвариантности формы записи дифференциала функции 
означает, что
означает, чтово всех случаях дифференциал является главной частью приращения функции
дифференциал 
форма записи дифференциала 
сохраняется, когда перестает быть независимой переменной
сохраняется, когда перестает быть независимой переменнойформа записи дифференциала 
не зависит от того, будет ли независимой переменной или функцией 
от другой переменной
не зависит от того, будет ли независимой переменной или функцией от другой переменной
=
Для функции 
точка М (1, 0) является точкой
точка М (1, 0) является точкойминимума
перегиба
разрыва
максимума