Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных
Если кривая задана векторным уравнением 
, где 
- длина дуги, то 
в некоторой точке - это
, где - длина дуги, то в некоторой точке - этоорт касательной, направленный в сторону возрастания
орт касательной
орт нормали
касательная прямая
Стационарная точка функции 
(0, 0)
не существует
(-2, 0)
(-1, 0)
Функция 
, заданная на множестве 
точек 
, непрерывна в точке 
, если
, заданная на множестве точек , непрерывна в точке , если
функция определена в точке
функция определена в точке и ее 
-окрестности
и ее -окрестностисуществуют 
и 
и Двойной интеграл 
по области 
, ограниченной линиями 
и 
, равен повторному интегралу
по области , ограниченной линиями и , равен повторному интегралу
Достаточным признаком экстремума функции 
в точке 
является
в точке является
; 
и 
Областью определения функции 
является множество
является множество
- это открытая область, состоящая из точек под прямой 
Производная 
функции 
в точке 
в направлении, задаваемом вектором 
, равна
функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна
(
, 
, 
, 
, 
- угол наклона вектора 
)
Производная функции 
в направлении вектора 
в точке 
равна
функции в направлении вектора в точке равна2
-
4
Градиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
3
Двойной интеграл , где - область, ограниченная линиями 
и 
, равен повторному интегралу
, где - область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу
Наибольшая скорость возрастания функции 
при переходе через точку (3, 4) равна
при переходе через точку (3, 4) равна
Кривая расположена в некоторой плоскости. Тогда соприкасающаяся плоскость к ней в какой-то ее точке есть
та плоскость, в которой расположена кривая
касательная плоскость
та плоскость, которая соприкасается с кривой
та плоскость, которая касается кривой
Областью определения функции 
является множество
является множество
Параметрические уравнения кривой линии 
называются натуральными, если
называются натуральными, еслиза параметр берется длина кривой
кривая - годограф векторной функции
за параметр принимается длина дуги , отсчитываемая от некоторой зафиксированной точки до текущей по кривой точки 
, отсчитываемая от некоторой зафиксированной точки до текущей по кривой точки это векторное уравнение
, то 
Касательная плоскость к сфере 
в точке 
имеет уравнение
в точке имеет уравнение
Градиент функции 
в точке (1,2,3) равен
в точке (1,2,3) равен
Функция 
в точке (0, 0) имеет частные производные 
. Следовательно
в точке (0, 0) имеет частные производные . Следовательно
не существует, так как функция 
в точке (0, 0) имеет разрыв
Областью определения функции 
является множество
является множество
-окрестностью точки 
в 
называетсяинтервал с центром в этой точке
круг с центром в этой точке
шар с центром 
и радиуса , причем поверхность сферы этого шара в -окрестность не включается
и радиуса , причем поверхность сферы этого шара в -окрестность не включаетсязамкнутый шар радиуса
Двойной интеграл 
, где - область, ограниченная линиями 
, равен повторному интегралу
, где - область, ограниченная линиями , равен повторному интегралу
Дифференциалы 
и 
принимаются равными приращениям аргументов 
и 
потому, что
и принимаются равными приращениям аргументов и потому, чтодля функции 
будет 
и 
(для - аналогичное рассуждение)
будет и (для - аналогичное рассуждение)
и 
- б.м. высшего порядкадифференциал - главная часть приращения
- главная часть приращения и - бесконечно малыеЧастные производные функции 
по 
и 
в точке 
равны
по и в точке равны
Частная производная 
функции 
равна
функции равна
0
Полный дифференциал 
функции 
в точке 
равен
функции в точке равен
Областью определения функции 
является множество
является множество
; это открытая область, лежащая над параболой 
(рюмка параболы - вниз); сама парабола не входит в это множество
, 
, 
. Тогда производная 
равна
Областью определения функции 
является
являетсявся плоскость 
, кроме точки 
, кроме точки точка
вся плоскость
Выражение 
является
являетсявторым дифференциалом
градиентом
неполным дифференциалом
полным дифференциалом
Градиент функции 
в точке 
равен
в точке равен
Двойным интегралом от функции 
по области называется предел интегральных сумм _________ , где 
- площадь области 
, 
по области называется предел интегральных сумм _________ , где - площадь области , 
Точка 
является граничной точкой множества , если
является граничной точкой множества , еслив некоторой -окрестности 
есть точки из и точки, не принадлежащие
-окрестности есть точки из и точки, не принадлежащие не принадлежит
лежит на границе
в любой -окрестности находятся как точки из , так и точки, не принадлежащие
-окрестности находятся как точки из , так и точки, не принадлежащие Если 
, то соответственно 
и 
равны
, то соответственно и равны
Областью определения функции 
является множество
является множествоточек
Градиент функции 
в произвольной точке равен
в произвольной точке равен
Пространство 
- это
- этомножество всевозможных упорядоченных наборов из 
чисел (
), называемых точками этого пространства
чисел (), называемых точками этого пространства
в степени множество точек
обобщение обычного пространства
и - стороны прямоугольника, 
- его площадь. Областью определения функции является множествовся плоскость
вся плоскость, кроме точки
Кривизной 
кривой линии в ее точке 
называется
кривой линии в ее точке называетсяпредел средней кривизны 
, когда 
: 
, когда : угол между касательными в точке 
предел абсолютной величины угла между касательными при 
предел угла между касательными при
Полным дифференциалом функции в точке называется
в точке называется
Если функция 
непрерывна в замкнутой ограниченной области 
, дифференцируема во внутренних точках и имеет в единственный экстремум - максимум, то своего наименьшего значения она достигает
непрерывна в замкнутой ограниченной области , дифференцируема во внутренних точках и имеет в единственный экстремум - максимум, то своего наименьшего значения она достигаетв граничной точке области
в другой точке внутри
во внутренней или граничной точке
в любой точке
Стационарная точка функции 
(-1, -1, -1)
не существует
(0, 0, 0)
(1, 2, -6)
Частная производная функции 
равна
функции равна
Известно, что в точке полное приращение 
данной функции есть б.м. высшего порядка в сравнении с 
. Тогда дифференциал 
в этой точке
полное приращение данной функции есть б.м. высшего порядка в сравнении с . Тогда дифференциал в этой точкеравен 
равен 
не определен
равен нулю
Полное приращение функции в точке равно
в точке равно
Стационарной точкой функции 
будет
будет(2, -1)
(0, 0)
(1, -1)
Двойной интеграл , где - область, ограниченная линиями 
и , равен повторному интегралу
, где - область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу
Неявная функция задана уравнением 
. Тогда частные производные и соответственно раны
. Тогда частные производные и соответственно раны
и 
и 
и 
и 
Наибольшая скорость возрастания функции 
при переходе через точку (1, 2) равна
при переходе через точку (1, 2) равна
1
Производная 
векторной функции 
при 
направлена по
векторной функции при направлена покасательной прямой в точке
нормали к линии
касательной прямой к годографу функции , проведенной в точке 
, проведенной в точке касательной прямой
Замкнутая область - это
- этомножество, ограниченное поверхностью
множество, получающееся, если к открытой области присоединить все ее граничные точки
присоединить все ее граничные точкизамкнутый интервал
множество всех граничных точек