Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных
Если кривая задана векторным уравнением , где - длина дуги, то в некоторой точке - это
орт касательной, направленный в сторону возрастания
орт касательной
орт нормали
касательная прямая
Стационарная точка функции
(0, 0)
не существует
(-2, 0)
(-1, 0)
Функция , заданная на множестве точек , непрерывна в точке , если
функция определена в точке
функция определена в точке и ее -окрестности
существуют и
Двойной интеграл по области , ограниченной линиями и , равен повторному интегралу
Достаточным признаком экстремума функции в точке является
;
и
Областью определения функции является множество
- это открытая область, состоящая из точек под прямой
Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна
(, , , , - угол наклона вектора )
Производная функции в направлении вектора в точке равна
2
-
4
Градиент функции в точке равен
3
Двойной интеграл , где - область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу
Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (3, 4) равна
Кривая расположена в некоторой плоскости. Тогда соприкасающаяся плоскость к ней в какой-то ее точке есть
та плоскость, в которой расположена кривая
касательная плоскость
та плоскость, которая соприкасается с кривой
та плоскость, которая касается кривой
Областью определения функции является множество
Параметрические уравнения кривой линии называются натуральными, если
за параметр берется длина кривой
кривая - годограф векторной функции
за параметр принимается длина дуги , отсчитываемая от некоторой зафиксированной точки до текущей по кривой точки
это векторное уравнение
Касательная плоскость к сфере в точке имеет уравнение
Градиент функции в точке (1,2,3) равен
Функция в точке (0, 0) имеет частные производные . Следовательно
не существует, так как функция в точке (0, 0) имеет разрыв
Областью определения функции является множество
-окрестностью точки в называется
интервал с центром в этой точке
круг с центром в этой точке
шар с центром и радиуса , причем поверхность сферы этого шара в -окрестность не включается
замкнутый шар радиуса
Двойной интеграл , где - область, ограниченная линиями , равен повторному интегралу
Дифференциалы и принимаются равными приращениям аргументов и потому, что
для функции будет и (для - аналогичное рассуждение)
и - б.м. высшего порядка
дифференциал - главная часть приращения
и - бесконечно малые
Частные производные функции по и в точке равны
Частная производная функции равна
0
Полный дифференциал функции в точке равен
Областью определения функции является множество
; это открытая область, лежащая над параболой (рюмка параболы - вниз); сама парабола не входит в это множество
, , . Тогда производная равна
Областью определения функции является
вся плоскость , кроме точки
точка
вся плоскость
Выражение является
вторым дифференциалом
градиентом
неполным дифференциалом
полным дифференциалом
Градиент функции в точке равен
Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральных сумм _________ , где - площадь области ,
Точка является граничной точкой множества , если
в некоторой -окрестности есть точки из и точки, не принадлежащие
не принадлежит
лежит на границе
в любой -окрестности находятся как точки из , так и точки, не принадлежащие
Если , то соответственно и равны
Областью определения функции является множество
точек
Градиент функции в произвольной точке равен
Пространство - это
множество всевозможных упорядоченных наборов из чисел (), называемых точками этого пространства
в степени
множество точек
обобщение обычного пространства
и - стороны прямоугольника, - его площадь. Областью определения функции является множество
вся плоскость
вся плоскость, кроме точки
Кривизной кривой линии в ее точке называется
предел средней кривизны , когда :
угол между касательными в точке
предел абсолютной величины угла между касательными при
предел угла между касательными при
Полным дифференциалом функции в точке называется
Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , дифференцируема во внутренних точках и имеет в единственный экстремум - максимум, то своего наименьшего значения она достигает
в граничной точке области
в другой точке внутри
во внутренней или граничной точке
в любой точке
Стационарная точка функции
(-1, -1, -1)
не существует
(0, 0, 0)
(1, 2, -6)
Частная производная функции равна
Известно, что в точке полное приращение данной функции есть б.м. высшего порядка в сравнении с . Тогда дифференциал в этой точке
равен
равен
не определен
равен нулю
Полное приращение функции в точке равно
Стационарной точкой функции будет
(2, -1)
(0, 0)
(1, -1)
Двойной интеграл , где - область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу
Неявная функция задана уравнением . Тогда частные производные и соответственно раны
и
и
и
и
Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (1, 2) равна
1
Производная векторной функции при направлена по
касательной прямой в точке
нормали к линии
касательной прямой к годографу функции , проведенной в точке
касательной прямой
Замкнутая область - это
множество, ограниченное поверхностью
множество, получающееся, если к открытой области присоединить все ее граничные точки
замкнутый интервал
множество всех граничных точек