Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных
Если кривая задана векторным уравнением
, где
- длина дуги, то
в некоторой точке - это
![image393.gif](/discipline-images/250976/image393.gif)
![image392.gif](/discipline-images/250976/image392.gif)
![image394.gif](/discipline-images/250976/image394.gif)
орт касательной, направленный в сторону возрастания ![image392.gif](/discipline-images/250976/image392.gif)
![image392.gif](/discipline-images/250976/image392.gif)
орт касательной
орт нормали
касательная прямая
Стационарная точка функции ![image025.gif](/discipline-images/250976/image025.gif)
![image025.gif](/discipline-images/250976/image025.gif)
(0, 0)
не существует
(-2, 0)
(-1, 0)
Функция
, заданная на множестве
точек
, непрерывна в точке
, если
![image197.gif](/discipline-images/250976/image197.gif)
![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
![image007.gif](/discipline-images/250976/image007.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250976/image185.gif)
![image200.gif](/discipline-images/250976/image200.gif)
функция определена в точке ![image185.gif](/discipline-images/250976/image185.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250976/image185.gif)
функция определена в точке
и ее
-окрестности
![image185.gif](/discipline-images/250976/image185.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
существуют
и ![image199.gif](/discipline-images/250976/image199.gif)
![image198.gif](/discipline-images/250976/image198.gif)
![image199.gif](/discipline-images/250976/image199.gif)
Двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями
и
, равен повторному интегралу
![image057.gif](/discipline-images/250976/image057.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image069.gif](/discipline-images/250976/image069.gif)
![image070.gif](/discipline-images/250976/image070.gif)
![image071.gif](/discipline-images/250976/image071.gif)
![image074.gif](/discipline-images/250976/image074.gif)
![image072.gif](/discipline-images/250976/image072.gif)
![image073.gif](/discipline-images/250976/image073.gif)
Достаточным признаком экстремума функции
в точке
является
![image310.gif](/discipline-images/250976/image310.gif)
![image313.gif](/discipline-images/250976/image313.gif)
![image317.gif](/discipline-images/250976/image317.gif)
![image318.gif](/discipline-images/250976/image318.gif)
![image315.gif](/discipline-images/250976/image315.gif)
![image316.gif](/discipline-images/250976/image316.gif)
![image314.gif](/discipline-images/250976/image314.gif)
![image317.gif](/discipline-images/250976/image317.gif)
Областью определения функции
является множество
![image223.gif](/discipline-images/250976/image223.gif)
![image226.gif](/discipline-images/250976/image226.gif)
![image227.gif](/discipline-images/250976/image227.gif)
![image015.gif](/discipline-images/250976/image015.gif)
![image224.gif](/discipline-images/250976/image224.gif)
![image225.gif](/discipline-images/250976/image225.gif)
Производная
функции
в точке
в направлении, задаваемом вектором
, равна
![image013.gif](/discipline-images/250976/image013.gif)
![image329.gif](/discipline-images/250976/image329.gif)
![image330.gif](/discipline-images/250976/image330.gif)
![image331.gif](/discipline-images/250976/image331.gif)
![image332.gif](/discipline-images/250976/image332.gif)
![image333.gif](/discipline-images/250976/image333.gif)
![image335.gif](/discipline-images/250976/image335.gif)
![image336.gif](/discipline-images/250976/image336.gif)
![image337.gif](/discipline-images/250976/image337.gif)
![image338.gif](/discipline-images/250976/image338.gif)
![image339.gif](/discipline-images/250976/image339.gif)
![image340.gif](/discipline-images/250976/image340.gif)
![image341.gif](/discipline-images/250976/image341.gif)
![image334.gif](/discipline-images/250976/image334.gif)
Производная
функции
в направлении вектора
в точке
равна
![image013.gif](/discipline-images/250976/image013.gif)
![image504.gif](/discipline-images/250976/image504.gif)
![image505.gif](/discipline-images/250976/image505.gif)
![image506.gif](/discipline-images/250976/image506.gif)
2
-![image507.gif](/discipline-images/250976/image507.gif)
![image507.gif](/discipline-images/250976/image507.gif)
4
![image019.gif](/discipline-images/250976/image019.gif)
Градиент функции
в точке
равен
![image343.gif](/discipline-images/250976/image343.gif)
![image453.gif](/discipline-images/250976/image453.gif)
![image472.gif](/discipline-images/250976/image472.gif)
![image474.gif](/discipline-images/250976/image474.gif)
3
![image473.gif](/discipline-images/250976/image473.gif)
Двойной интеграл
, где
- область, ограниченная линиями
и
, равен повторному интегралу
![image057.gif](/discipline-images/250976/image057.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image059.gif](/discipline-images/250976/image059.gif)
![image064.gif](/discipline-images/250976/image064.gif)
![image066.gif](/discipline-images/250976/image066.gif)
![image067.gif](/discipline-images/250976/image067.gif)
![image068.gif](/discipline-images/250976/image068.gif)
![image065.gif](/discipline-images/250976/image065.gif)
Наибольшая скорость возрастания функции
при переходе через точку (3, 4) равна
![image120.gif](/discipline-images/250976/image120.gif)
![image141.gif](/discipline-images/250976/image141.gif)
![image143.gif](/discipline-images/250976/image143.gif)
![image142.gif](/discipline-images/250976/image142.gif)
![image140.gif](/discipline-images/250976/image140.gif)
Кривая расположена в некоторой плоскости. Тогда соприкасающаяся плоскость к ней в какой-то ее точке есть
та плоскость, в которой расположена кривая
касательная плоскость
та плоскость, которая соприкасается с кривой
та плоскость, которая касается кривой
Областью определения функции
является множество
![image215.gif](/discipline-images/250976/image215.gif)
![image216.gif](/discipline-images/250976/image216.gif)
![image217.gif](/discipline-images/250976/image217.gif)
![image219.gif](/discipline-images/250976/image219.gif)
![image218.gif](/discipline-images/250976/image218.gif)
Параметрические уравнения кривой линии
называются натуральными, если
![image391.gif](/discipline-images/250976/image391.gif)
за параметр берется длина кривой
кривая - годограф векторной функции
за параметр принимается длина дуги
, отсчитываемая от некоторой зафиксированной точки до текущей по кривой точки ![image368.gif](/discipline-images/250976/image368.gif)
![image392.gif](/discipline-images/250976/image392.gif)
![image368.gif](/discipline-images/250976/image368.gif)
это векторное уравнение
Касательная плоскость к сфере
в точке
имеет уравнение
![image323.gif](/discipline-images/250976/image323.gif)
![image324.gif](/discipline-images/250976/image324.gif)
![image326.gif](/discipline-images/250976/image326.gif)
![image325.gif](/discipline-images/250976/image325.gif)
![image327.gif](/discipline-images/250976/image327.gif)
![image328.gif](/discipline-images/250976/image328.gif)
Градиент функции
в точке (1,2,3) равен
![image361.gif](/discipline-images/250976/image361.gif)
![image363.gif](/discipline-images/250976/image363.gif)
![image362.gif](/discipline-images/250976/image362.gif)
![image364.gif](/discipline-images/250976/image364.gif)
![image365.gif](/discipline-images/250976/image365.gif)
Функция
в точке (0, 0) имеет частные производные
. Следовательно
![image100.gif](/discipline-images/250976/image100.gif)
![image101.gif](/discipline-images/250976/image101.gif)
![image105.gif](/discipline-images/250976/image105.gif)
![image106.gif](/discipline-images/250976/image106.gif)
![image103.gif](/discipline-images/250976/image103.gif)
![image104.gif](/discipline-images/250976/image104.gif)
![image102.gif](/discipline-images/250976/image102.gif)
Областью определения функции
является множество
![image220.gif](/discipline-images/250976/image220.gif)
![image222.gif](/discipline-images/250976/image222.gif)
![image207.gif](/discipline-images/250976/image207.gif)
![image208.gif](/discipline-images/250976/image208.gif)
![image221.gif](/discipline-images/250976/image221.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
![image175.gif](/discipline-images/250976/image175.gif)
![image176.gif](/discipline-images/250976/image176.gif)
интервал с центром в этой точке
круг с центром в этой точке
шар с центром
и радиуса
, причем поверхность сферы этого шара в
-окрестность не включается
![image177.gif](/discipline-images/250976/image177.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
замкнутый шар радиуса ![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
Двойной интеграл
, где
- область, ограниченная линиями
, равен повторному интегралу
![image050.gif](/discipline-images/250976/image050.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image052.gif](/discipline-images/250976/image052.gif)
![image056.gif](/discipline-images/250976/image056.gif)
![image055.gif](/discipline-images/250976/image055.gif)
![image053.gif](/discipline-images/250976/image053.gif)
![image054.gif](/discipline-images/250976/image054.gif)
Дифференциалы
и
принимаются равными приращениям аргументов
и
потому, что
![image280.gif](/discipline-images/250976/image280.gif)
![image281.gif](/discipline-images/250976/image281.gif)
![image282.gif](/discipline-images/250976/image282.gif)
![image283.gif](/discipline-images/250976/image283.gif)
для функции
будет
и
(для
- аналогичное рассуждение)
![image286.gif](/discipline-images/250976/image286.gif)
![image287.gif](/discipline-images/250976/image287.gif)
![image288.gif](/discipline-images/250976/image288.gif)
![image281.gif](/discipline-images/250976/image281.gif)
![image284.gif](/discipline-images/250976/image284.gif)
![image285.gif](/discipline-images/250976/image285.gif)
дифференциал
- главная часть приращения ![image284.gif](/discipline-images/250976/image284.gif)
![image280.gif](/discipline-images/250976/image280.gif)
![image284.gif](/discipline-images/250976/image284.gif)
![image282.gif](/discipline-images/250976/image282.gif)
![image283.gif](/discipline-images/250976/image283.gif)
Частные производные функции
по
и
в точке
равны
![image238.gif](/discipline-images/250976/image238.gif)
![image228.gif](/discipline-images/250976/image228.gif)
![image229.gif](/discipline-images/250976/image229.gif)
![image108.gif](/discipline-images/250976/image108.gif)
![image251.gif](/discipline-images/250976/image251.gif)
![image250.gif](/discipline-images/250976/image250.gif)
![image249.gif](/discipline-images/250976/image249.gif)
![image248.gif](/discipline-images/250976/image248.gif)
Частная производная
функции
равна
![image427.gif](/discipline-images/250976/image427.gif)
![image432.gif](/discipline-images/250976/image432.gif)
![image435.gif](/discipline-images/250976/image435.gif)
![image433.gif](/discipline-images/250976/image433.gif)
0
![image434.gif](/discipline-images/250976/image434.gif)
Полный дифференциал
функции
в точке
равен
![image451.gif](/discipline-images/250976/image451.gif)
![image457.gif](/discipline-images/250976/image457.gif)
![image458.gif](/discipline-images/250976/image458.gif)
![image462.gif](/discipline-images/250976/image462.gif)
![image459.gif](/discipline-images/250976/image459.gif)
![image460.gif](/discipline-images/250976/image460.gif)
![image461.gif](/discipline-images/250976/image461.gif)
Областью определения функции
является множество
![image209.gif](/discipline-images/250976/image209.gif)
![image210.gif](/discipline-images/250976/image210.gif)
![image213.gif](/discipline-images/250976/image213.gif)
![image214.gif](/discipline-images/250976/image214.gif)
![image211.gif](/discipline-images/250976/image211.gif)
![image212.gif](/discipline-images/250976/image212.gif)
![image081.gif](/discipline-images/250976/image081.gif)
![image082.gif](/discipline-images/250976/image082.gif)
![image083.gif](/discipline-images/250976/image083.gif)
![image084.gif](/discipline-images/250976/image084.gif)
![image085.gif](/discipline-images/250976/image085.gif)
![image086.gif](/discipline-images/250976/image086.gif)
![image087.gif](/discipline-images/250976/image087.gif)
![image088.gif](/discipline-images/250976/image088.gif)
Областью определения функции
является
![image201.gif](/discipline-images/250976/image201.gif)
вся плоскость
, кроме точки ![image203.gif](/discipline-images/250976/image203.gif)
![image179.gif](/discipline-images/250976/image179.gif)
![image203.gif](/discipline-images/250976/image203.gif)
точка ![image203.gif](/discipline-images/250976/image203.gif)
![image203.gif](/discipline-images/250976/image203.gif)
![image202.gif](/discipline-images/250976/image202.gif)
вся плоскость
Выражение
является
![image170.gif](/discipline-images/250976/image170.gif)
вторым дифференциалом
градиентом
неполным дифференциалом
полным дифференциалом
Градиент функции
в точке
равен
![image467.gif](/discipline-images/250976/image467.gif)
![image016.gif](/discipline-images/250976/image016.gif)
![image469.gif](/discipline-images/250976/image469.gif)
![image471.gif](/discipline-images/250976/image471.gif)
![image468.gif](/discipline-images/250976/image468.gif)
![image470.gif](/discipline-images/250976/image470.gif)
Двойным интегралом от функции
по области
называется предел интегральных сумм _________ , где
- площадь области
, ![image033.gif](/discipline-images/250976/image033.gif)
![image030.gif](/discipline-images/250976/image030.gif)
![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
![image031.gif](/discipline-images/250976/image031.gif)
![image032.gif](/discipline-images/250976/image032.gif)
![image033.gif](/discipline-images/250976/image033.gif)
![image034.gif](/discipline-images/250976/image034.gif)
![image035.gif](/discipline-images/250976/image035.gif)
![image037.gif](/discipline-images/250976/image037.gif)
![image036.gif](/discipline-images/250976/image036.gif)
Точка
является граничной точкой множества
, если
![image178.gif](/discipline-images/250976/image178.gif)
![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
в некоторой
-окрестности
есть точки из
и точки, не принадлежащие ![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
![image184.gif](/discipline-images/250976/image184.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
не принадлежит ![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
лежит на границе ![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
в любой
-окрестности
находятся как точки из
, так и точки, не принадлежащие ![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image172.gif](/discipline-images/250976/image172.gif)
![image185.gif](/discipline-images/250976/image185.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
Если
, то соответственно
и
равны
![image300.gif](/discipline-images/250976/image300.gif)
![image090.gif](/discipline-images/250976/image090.gif)
![image091.gif](/discipline-images/250976/image091.gif)
![image303.gif](/discipline-images/250976/image303.gif)
![image302.gif](/discipline-images/250976/image302.gif)
![image304.gif](/discipline-images/250976/image304.gif)
![image301.gif](/discipline-images/250976/image301.gif)
Областью определения функции
является множество
![image204.gif](/discipline-images/250976/image204.gif)
точек ![image208.gif](/discipline-images/250976/image208.gif)
![image208.gif](/discipline-images/250976/image208.gif)
![image205.gif](/discipline-images/250976/image205.gif)
![image206.gif](/discipline-images/250976/image206.gif)
![image207.gif](/discipline-images/250976/image207.gif)
Градиент функции
в произвольной точке равен
![image356.gif](/discipline-images/250976/image356.gif)
![image360.gif](/discipline-images/250976/image360.gif)
![image359.gif](/discipline-images/250976/image359.gif)
![image357.gif](/discipline-images/250976/image357.gif)
![image358.gif](/discipline-images/250976/image358.gif)
Пространство
- это
![image001.gif](/discipline-images/250976/image001.gif)
множество всевозможных упорядоченных наборов из
чисел (
), называемых точками этого пространства
![image003.gif](/discipline-images/250976/image003.gif)
![image004.gif](/discipline-images/250976/image004.gif)
![image002.gif](/discipline-images/250976/image002.gif)
![image003.gif](/discipline-images/250976/image003.gif)
множество точек
обобщение обычного пространства
![image228.gif](/discipline-images/250976/image228.gif)
![image229.gif](/discipline-images/250976/image229.gif)
![image230.gif](/discipline-images/250976/image230.gif)
вся плоскость
вся плоскость, кроме точки ![image205.gif](/discipline-images/250976/image205.gif)
![image205.gif](/discipline-images/250976/image205.gif)
![image231.gif](/discipline-images/250976/image231.gif)
![image232.gif](/discipline-images/250976/image232.gif)
Кривизной
кривой линии в ее точке
называется
![image372.gif](/discipline-images/250976/image372.gif)
![image373.gif](/discipline-images/250976/image373.gif)
предел средней кривизны
, когда
: ![image376.gif](/discipline-images/250976/image376.gif)
![image366.gif](/discipline-images/250976/image366.gif)
![image375.gif](/discipline-images/250976/image375.gif)
![image376.gif](/discipline-images/250976/image376.gif)
угол между касательными в точке ![image367.gif](/discipline-images/250976/image367.gif)
![image367.gif](/discipline-images/250976/image367.gif)
предел абсолютной величины угла между касательными при ![image374.gif](/discipline-images/250976/image374.gif)
![image374.gif](/discipline-images/250976/image374.gif)
предел угла между касательными при ![image374.gif](/discipline-images/250976/image374.gif)
![image374.gif](/discipline-images/250976/image374.gif)
Полным дифференциалом функции
в точке
называется
![image238.gif](/discipline-images/250976/image238.gif)
![image108.gif](/discipline-images/250976/image108.gif)
![image262.gif](/discipline-images/250976/image262.gif)
![image265.gif](/discipline-images/250976/image265.gif)
![image263.gif](/discipline-images/250976/image263.gif)
![image264.gif](/discipline-images/250976/image264.gif)
Если функция
непрерывна в замкнутой ограниченной области
, дифференцируема во внутренних точках
и имеет в
единственный экстремум - максимум, то своего наименьшего значения она достигает
![image189.gif](/discipline-images/250976/image189.gif)
![image186.gif](/discipline-images/250976/image186.gif)
![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
в граничной точке области
в другой точке внутри ![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
![image006.gif](/discipline-images/250976/image006.gif)
во внутренней или граничной точке
в любой точке
Стационарная точка функции ![image024.gif](/discipline-images/250976/image024.gif)
![image024.gif](/discipline-images/250976/image024.gif)
(-1, -1, -1)
не существует
(0, 0, 0)
(1, 2, -6)
Частная производная
функции
равна
![image427.gif](/discipline-images/250976/image427.gif)
![image436.gif](/discipline-images/250976/image436.gif)
![image440.gif](/discipline-images/250976/image440.gif)
![image438.gif](/discipline-images/250976/image438.gif)
![image437.gif](/discipline-images/250976/image437.gif)
![image439.gif](/discipline-images/250976/image439.gif)
Известно, что в точке
полное приращение
данной функции
есть б.м. высшего порядка в сравнении с
. Тогда дифференциал
в этой точке
![image178.gif](/discipline-images/250976/image178.gif)
![image271.gif](/discipline-images/250976/image271.gif)
![image238.gif](/discipline-images/250976/image238.gif)
![image289.gif](/discipline-images/250976/image289.gif)
![image270.gif](/discipline-images/250976/image270.gif)
равен ![image290.gif](/discipline-images/250976/image290.gif)
![image290.gif](/discipline-images/250976/image290.gif)
равен ![image291.gif](/discipline-images/250976/image291.gif)
![image291.gif](/discipline-images/250976/image291.gif)
не определен
равен нулю
Полное приращение функции
в точке
равно
![image238.gif](/discipline-images/250976/image238.gif)
![image178.gif](/discipline-images/250976/image178.gif)
![image242.gif](/discipline-images/250976/image242.gif)
![image241.gif](/discipline-images/250976/image241.gif)
![image240.gif](/discipline-images/250976/image240.gif)
![image239.gif](/discipline-images/250976/image239.gif)
Стационарной точкой функции
будет
![image021.gif](/discipline-images/250976/image021.gif)
(2, -1)
![image022.gif](/discipline-images/250976/image022.gif)
(0, 0)
(1, -1)
Двойной интеграл
, где
- область, ограниченная линиями
и
, равен повторному интегралу
![image057.gif](/discipline-images/250976/image057.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image058.gif](/discipline-images/250976/image058.gif)
![image059.gif](/discipline-images/250976/image059.gif)
![image061.gif](/discipline-images/250976/image061.gif)
![image063.gif](/discipline-images/250976/image063.gif)
![image060.gif](/discipline-images/250976/image060.gif)
![image062.gif](/discipline-images/250976/image062.gif)
Неявная функция задана уравнением
. Тогда частные производные
и
соответственно раны
![image089.gif](/discipline-images/250976/image089.gif)
![image090.gif](/discipline-images/250976/image090.gif)
![image091.gif](/discipline-images/250976/image091.gif)
![image094.gif](/discipline-images/250976/image094.gif)
![image095.gif](/discipline-images/250976/image095.gif)
![image096.gif](/discipline-images/250976/image096.gif)
![image097.gif](/discipline-images/250976/image097.gif)
![image098.gif](/discipline-images/250976/image098.gif)
![image099.gif](/discipline-images/250976/image099.gif)
![image092.gif](/discipline-images/250976/image092.gif)
![image093.gif](/discipline-images/250976/image093.gif)
Наибольшая скорость возрастания функции
при переходе через точку (1, 2) равна
![image132.gif](/discipline-images/250976/image132.gif)
![image133.gif](/discipline-images/250976/image133.gif)
![image134.gif](/discipline-images/250976/image134.gif)
![image135.gif](/discipline-images/250976/image135.gif)
1
Производная
векторной функции
при
направлена по
![image382.gif](/discipline-images/250976/image382.gif)
![image383.gif](/discipline-images/250976/image383.gif)
![image384.gif](/discipline-images/250976/image384.gif)
касательной прямой в точке ![image367.gif](/discipline-images/250976/image367.gif)
![image367.gif](/discipline-images/250976/image367.gif)
нормали к линии
касательной прямой к годографу функции
, проведенной в точке ![image385.gif](/discipline-images/250976/image385.gif)
![image383.gif](/discipline-images/250976/image383.gif)
![image385.gif](/discipline-images/250976/image385.gif)
касательной прямой
Замкнутая область
- это
![image186.gif](/discipline-images/250976/image186.gif)
множество, ограниченное поверхностью
множество, получающееся, если к открытой области
присоединить все ее граничные точки
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
замкнутый интервал
множество всех граничных точек ![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)
![image051.gif](/discipline-images/250976/image051.gif)