Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2)
В процедуре проверки гипотезы о виде распределения используется статистика
, которая имеет распределение
![image214.gif](/discipline-images/279135/image214.gif)
N(0,1)
Фишера-Снедекора
Стьюдента
χ2
Выборочное среднее
и выборочная дисперсия S2 для выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6 равны
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
Для случайных величин
и
ковариация
определяется как
![image412.gif](/discipline-images/279135/image412.gif)
![image419.gif](/discipline-images/279135/image419.gif)
![image424.gif](/discipline-images/279135/image424.gif)
![image426.gif](/discipline-images/279135/image426.gif)
![image427.gif](/discipline-images/279135/image427.gif)
![image425.gif](/discipline-images/279135/image425.gif)
![image428.gif](/discipline-images/279135/image428.gif)
Некоррелированные случайные величины быть зависимыми
не могут
могут, т.к. всегда зависимы
могут при линейной связи между ними
могут
Оценка интенсивности потока обслуживания для N наблюдений одноканальной системы с неограниченной очередью, ui - число обслуженных требований, ui - число поступивших требований,
- общее время, когда система свободна за время наблюдения t, i - номер наблюдения; равна
![image121.gif](/discipline-images/279135/image121.gif)
![image128.gif](/discipline-images/279135/image128.gif)
![image127.gif](/discipline-images/279135/image127.gif)
![image129.gif](/discipline-images/279135/image129.gif)
![image126.gif](/discipline-images/279135/image126.gif)
Для математического ожидания m стационарного случайного процесса, если известна реализация процесса x(t), при t Î [0; T], оценка
имеет вид
![image151.gif](/discipline-images/279135/image151.gif)
![image155.gif](/discipline-images/279135/image155.gif)
![image154.gif](/discipline-images/279135/image154.gif)
![image152.gif](/discipline-images/279135/image152.gif)
![image153.gif](/discipline-images/279135/image153.gif)
Абсолютная пропускная способность системы масcового обслуживания с неограниченной очередью, n - число каналов, l - интенсивность потока заявок, m - интенсивность потока обслуживания, r - загрузка системы, pn - вероятность того, что заняты все каналы и нет очереди; равна
A = r
A = m
A = l + m
A = l
Вероятность того, что в столбике из 150 наугад отобранных монет число монет, расположенных "гербом" вверх, будет от 50 до 75, может быть определена с помощью теоремы
Пуассона
Муавра-Лапласа
Чебышева
Маркова
Абсолютный момент случайной величины Х порядка n определяется выражением
![image666.gif](/discipline-images/279135/image666.gif)
![image669.gif](/discipline-images/279135/image669.gif)
![image667.gif](/discipline-images/279135/image667.gif)
![image668.gif](/discipline-images/279135/image668.gif)
В управляемом марковском процессе наибольший средний выигрыш достигается на стратегии
допустимой
наилучшей
принятой
оптимальной
Пусть
, где
одинаково распределены и
,
. Утверждение ![image517.gif](/discipline-images/279135/image517.gif)
![image513.gif](/discipline-images/279135/image513.gif)
![image514.gif](/discipline-images/279135/image514.gif)
![image515.gif](/discipline-images/279135/image515.gif)
![image516.gif](/discipline-images/279135/image516.gif)
![image517.gif](/discipline-images/279135/image517.gif)
несправедливо
справедливо, если
независимы
![image518.gif](/discipline-images/279135/image518.gif)
справедливо всегда
справедливо, если
зависимы
![image518.gif](/discipline-images/279135/image518.gif)
Плотности вероятностей перехода
для однородного марковского процесса
![image559.gif](/discipline-images/279135/image559.gif)
обладают свойством ![image561.gif](/discipline-images/279135/image561.gif)
![image561.gif](/discipline-images/279135/image561.gif)
зависят от ![image530.gif](/discipline-images/279135/image530.gif)
![image530.gif](/discipline-images/279135/image530.gif)
зависят от разности
(для любых моментов времени)
![image560.gif](/discipline-images/279135/image560.gif)
не зависят от ![image530.gif](/discipline-images/279135/image530.gif)
![image530.gif](/discipline-images/279135/image530.gif)
Абсолютная пропускная способность одноканальной системы с ограниченной очередью длиной m, интенсивностью потока заявок l, интенсивностью потока обслуживания m, загрузкой системы r и вероятностью p0 - того, что система свободна, и r - среднее число заявок в очереди, равна
A =
rm + 1p0
![image001.gif](/discipline-images/279135/image001.gif)
A = lrm + 1p0
A = l(1 - rm + 1p0)
A =
(1 - rm + 1p0)
![image001.gif](/discipline-images/279135/image001.gif)
Выборочная медиана d для вариационного ряда выборки объема n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12 равна
4,5
3
5
4
Вероятность события А равна Р(А), вероятность противоположного события Р(
) определяется как
![image594.gif](/discipline-images/279135/image594.gif)
1 - 2 Р(А)
2 Р(А)
1 - Р(А)
![image595.gif](/discipline-images/279135/image595.gif)
Три шарика случайным образом помещают в трех ящиках. Вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику, равна
![image688.gif](/discipline-images/279135/image688.gif)
![image687.gif](/discipline-images/279135/image687.gif)
![image675.gif](/discipline-images/279135/image675.gif)
![image674.gif](/discipline-images/279135/image674.gif)
Среднее число заявок r в одноканальной системе с ограниченной очередью длиной m, интенсивностью потока заявок l, нитенсивностью потока обслуживания m, загрузкой системы r и вероятностью p0 - того, что система свободна, равно
k = r + 1 - p0
k = r + 1 + p0
k = r - 1 - p0
k = r - 1 + p0
Вероятность для случайной величины X, распределенной «нормально с параметрами 3,2» - N[3,2], попасть внутрь интервала [-1,7] равна
0.9973
0.97
0.9544
0.68
Таблица частот по выборке объема 100 для проверки гипотезы о том, что генеральное распределение - равномерное на отрезке [0,1], имеет вид:
Гипотеза о виде распределения по критерию Колмогорова ____________ на уровне значимости 0,05. Значение статистики, по которой оценивается мера расхождения, равно_______
![image231.gif](/discipline-images/279135/image231.gif)
проходит, 1
не проходит, 10
проходит, 10
не проходит, 1
Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка для выборки объема n: х1, х2, …, хn. находится по следующей формуле:
ak = ![image304.gif](/discipline-images/279135/image304.gif)
![image304.gif](/discipline-images/279135/image304.gif)
ak = ![image301.gif](/discipline-images/279135/image301.gif)
![image301.gif](/discipline-images/279135/image301.gif)
ak = ![image302.gif](/discipline-images/279135/image302.gif)
![image302.gif](/discipline-images/279135/image302.gif)
ak = ![image303.gif](/discipline-images/279135/image303.gif)
![image303.gif](/discipline-images/279135/image303.gif)
Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn. Ее выборочное среднее равно
. Выборочная дисперсия находится по формуле
![image185.gif](/discipline-images/279135/image185.gif)
![image216.gif](/discipline-images/279135/image216.gif)
![image218.gif](/discipline-images/279135/image218.gif)
![image217.gif](/discipline-images/279135/image217.gif)
![image215.gif](/discipline-images/279135/image215.gif)
Дано статистическое распределение выборки:
Выборочное среднее
и выборочная дисперсия S2 равны
![image322.gif](/discipline-images/279135/image322.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
При проверке гипотезы об однородности двух выборок по критерию Колмогорова-Смирнова максимальная разница между эмпирическими распределениями оказалась равной 0,1. Число испытаний равно для обеих совокупностей n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:
n=200, гипотеза прoходит
n=500, гипотеза прoходит
n=100, гипотеза не прoходит
n=200, гипотеза не проходит
Производство дает 1,5% брака. Тогда вероятность того, что из взятых на исследование 1000 изделий выбраковано будет не больше 15, может быть определена с помощью теоремы
Муавра-Лапласа
Хинчина
Чебышева
Маркова
По выборке построена гистограмма. Медиана равна ![image347.gif](/discipline-images/279135/image347.gif)
![image347.gif](/discipline-images/279135/image347.gif)
0
3
2
1
Из всех значений выборки для упрощения счета вычли 1280, при этом эмпирическая дисперсия
уменьшится на 1280
уменьшится в 1280 раз
увеличится в 1280 раз
не изменится
Электростанция обслуживает сеть, в которой 2000 ламп, вероятность включения каждой из них в зимний вечер равна 0,8. Вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет более 1800, можно определить с помощью
теоремы Муавра-Лапласа
теоремы Хинчина
неравенства Чебышева
теоремы Пуассона
Всхожесть семян некоторого растения равна 0,8. Тогда вероятность того, что из 1000 посаженных семян число проросших будет заключено между 750 и 850, можно определить с помощью
теоремы Муавра-Лапласа
неравенства Чебышева
теоремы Маркова
теоремы Чебышева
Результат пяти измерений равен 1, результат трех измерений равен 2 и результат одного измерения равен 3. Выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно равны
≈4,67; 0,89
≈1,56; ≈0,47
2; 2,16
2; 0,17
Для стационарного случайного процесса при t = 0 ковариационная функция B(t) равна
периодической функции
постоянной величине
нулю
дисперсии этого процесса
Среднее время пребывания заявки в одноканальной системе с ограниченной очередью длиной m, интенсивностью потока заявок l, интенсивностью потока обслуживания m, загрузкой системы r и вероятностью p0 - того, что система свободна и r - среднее число заявок в очереди, равно
![image058.gif](/discipline-images/279135/image058.gif)
![image056.gif](/discipline-images/279135/image056.gif)
![image057.gif](/discipline-images/279135/image057.gif)
![image055.gif](/discipline-images/279135/image055.gif)
Вероятность того, что при бросании игральной кости один раз выпадает четное число очков, равна
![image676.gif](/discipline-images/279135/image676.gif)
0,6
0,4
0,35
Если из всех значений выборки для упрощения счета вычесть 1280, то эмпирическая дисперсия при этом
не изменится
уменьшится на 1280
увеличится в 1280 раз
уменьшится в 1280 раз
Статистика, с помощью которой по эмпирическому значению коэффициента корреляции r и числу испытаний n проверяется значимость коэффициента корреляции, имеет распределение
Фишера-Снедекора
χ2
нормальное
Стьюдента
Для случайной величины, имеющей плотность распределения
, математическое ожидание и дисперсия равны
![image350.gif](/discipline-images/279135/image350.gif)
2; 5
0; 5
2; 1
2; 25
В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво.
Это цифра:
![image336.gif](/discipline-images/279135/image336.gif)
х = 2
х = 3
х = 4
х = 5
Два охотника одновременно стреляют в лису. Каждый охотник попадает в нее с вероятностью
. Вероятность того, что лиса будет подстрелена, равна
![image675.gif](/discipline-images/279135/image675.gif)
![image696.gif](/discipline-images/279135/image696.gif)
![image697.gif](/discipline-images/279135/image697.gif)
![image698.gif](/discipline-images/279135/image698.gif)
![image699.gif](/discipline-images/279135/image699.gif)
Формула для вычисления среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины имеет вид
![image655.gif](/discipline-images/279135/image655.gif)
![image657.gif](/discipline-images/279135/image657.gif)
![image656.gif](/discipline-images/279135/image656.gif)
![image658.gif](/discipline-images/279135/image658.gif)
Правильным является следующее соотношение:
M(-2X) = -4M(X)
M(-2X) = -2M(X)
M(-2X) = 4M(X)
M(-2X) = 2M(X)
Для характеристических функций случайных величин
и
, где
(
- число), формула ![image504.gif](/discipline-images/279135/image504.gif)
![image412.gif](/discipline-images/279135/image412.gif)
![image419.gif](/discipline-images/279135/image419.gif)
![image503.gif](/discipline-images/279135/image503.gif)
![image436.gif](/discipline-images/279135/image436.gif)
![image504.gif](/discipline-images/279135/image504.gif)
верна для ![image505.gif](/discipline-images/279135/image505.gif)
![image505.gif](/discipline-images/279135/image505.gif)
неверна
верна для ![image506.gif](/discipline-images/279135/image506.gif)
![image506.gif](/discipline-images/279135/image506.gif)
всегда справедлива
Закон распределения дискретного случайного вектора
- это совокупность всех возможных значений данного вектора и вероятностей
, равных
![image391.gif](/discipline-images/279135/image391.gif)
![image405.gif](/discipline-images/279135/image405.gif)
![image409.gif](/discipline-images/279135/image409.gif)
![image407.gif](/discipline-images/279135/image407.gif)
![image406.gif](/discipline-images/279135/image406.gif)
![image408.gif](/discipline-images/279135/image408.gif)
Сечение случайного процесса X(t) = j(t, w) получается при
фиксированных t = t0 и w = w0
фиксированном t = t0
фиксированном w = w0
вычислении математического ожидания
Доля обслуженных заявок среди поступивших в систему - это
интенсивность потока обслуживания
интенсивность потока заявок
относительная пропускная способность
абсолютная пропускная способность
Выборочная медиана d и выборочное среднее
для вариационного ряда выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16 равны
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
d = 1;
= 1
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
d = 5;
= 2
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
d = 2,5;
= 1
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
d = 1;
= 2
![image288.gif](/discipline-images/279135/image288.gif)
Выберите верное утверждение для случайных величин (X,Y):
если их коэффициент корреляции равен единице и они имеют нормальное распределение, то они независимы
если их коэффициент корреляции равен нулю, то они независимы
если их коэффициент корреляции равен нулю и они имеют нормальное распределение, то они независимы
если они независимы, то их коэффициент корреляции равен единице
Пусть случайные величины
и
таковы, что
,
- характеристическая функция
, тогда характеристическая функция
равна
![image419.gif](/discipline-images/279135/image419.gif)
![image412.gif](/discipline-images/279135/image412.gif)
![image563.gif](/discipline-images/279135/image563.gif)
![image564.gif](/discipline-images/279135/image564.gif)
![image412.gif](/discipline-images/279135/image412.gif)
![image565.gif](/discipline-images/279135/image565.gif)
![image568.gif](/discipline-images/279135/image568.gif)
![image569.gif](/discipline-images/279135/image569.gif)
![image567.gif](/discipline-images/279135/image567.gif)
![image566.gif](/discipline-images/279135/image566.gif)
Возможна следующая таблица статистического распределения выборки
![image351.gif](/discipline-images/279135/image351.gif)
![image353.gif](/discipline-images/279135/image353.gif)
![image352.gif](/discipline-images/279135/image352.gif)
![image354.gif](/discipline-images/279135/image354.gif)
Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами ![image795.gif](/discipline-images/279135/image795.gif)
Ее числовые характеристики равны
![image795.gif](/discipline-images/279135/image795.gif)
![image796.gif](/discipline-images/279135/image796.gif)
![image797.gif](/discipline-images/279135/image797.gif)
![image799.gif](/discipline-images/279135/image799.gif)
![image800.gif](/discipline-images/279135/image800.gif)
![image798.gif](/discipline-images/279135/image798.gif)
Случайный процесс - это
семейство случайных величин
, где параметр
бесконечному множеству значений
![image528.gif](/discipline-images/279135/image528.gif)
![image529.gif](/discipline-images/279135/image529.gif)
случайная функция, заданная на множестве целых чисел
семейство случайных величин
, где параметр
принимает конечное множество значений
![image528.gif](/discipline-images/279135/image528.gif)
![image530.gif](/discipline-images/279135/image530.gif)
множество случайных функций