Основы математического анализа
Поверхность уровня функции u = x2 + y2 + z2 в точке M0(1,1,1) имеет уравнение
x2 + y2 + z2 = 3
x2 + y2 + z2 = 1
x2 + y2 + z2 = 0
2x + 2y + 2z = 6
Какие утверждения верны? a) общее решение дифференциального уравнения у¢ - у = 0 имеет вид: Cех b) общее решение дифференциального уравнения у¢ + у = 0 имеет вид: Cе-x c) общее решение дифференциального уравнения у¢ - у = 0 имеет вид: Cxех d) общее решение дифференциального уравнения у¢ + у = 0 имеет вид: Cxе-x
d
c
b
a
Область определения функции
есть множество
![image001.gif](/discipline-images/292789/image001.gif)
{(x, y): -7 < x < 7, -7 < y < 7}
{(x, y): x + y £ 7}
{(x, y): x2 + y2 £ 49 }
{(x, y): -¥ < x < ¥, 0 < y < 7}
Полный дифференциал функции z = x2 + y в точке P0(0,0) равен
2dx
2dx + dy
0
dy
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их общими решениями
y² - y¢ = 0
С1 + С2e-2x
y² + y¢ = 0
С1 + С2e-x
y² + 2y¢ = 0
С1 + С2ex
Характеристическое уравнение для разностного уравнения y(x + 2) – 4y(x + 1) + 4y(x) = 0 имеет вид
r2 – 4r = 0
r2 – 4r + 4 = 0
r2 + 4 = 0
r2 – 4r – 4 = 0
Какие утверждения верны? a) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 1, у¢(0) = 0 имеет решение ex b) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 1, у¢(0) = 0 имеет решение (1 – x)ex c) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 1 имеет решение xex d) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 1 имеет решение (1+x)ex
a
c
b
d
Область определения функции
есть множество
![image005.gif](/discipline-images/292789/image005.gif)
{(x, y): x – y ³ 0}
{(x, y): x ³ y}
{(x, y): y < x}
{(x, y) : x < y}
Общее решение дифференциального уравнения dy – 3x2dx = 0
y = x4
y = x2 + C
y = x3 + C
y = x + C
Частная производная
функции z = ln(x + y2) равна
![image013.gif](/discipline-images/292789/image013.gif)
![image027.gif](/discipline-images/292789/image027.gif)
(x + y2) 2y
x + y2
(x + y2) x
Общее решение дифференциального уравнения ![image071.gif](/discipline-images/292789/image071.gif)
![image071.gif](/discipline-images/292789/image071.gif)
y = (x + C)ex
y = xex + C
y = exC
y = x + C
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их характеристическими уравнениями.
y² + y = 0
r2 – r = 0
y² + y¢ + y = 0
r2 + r + 1 = 0
y² - y¢ = 0
r2 + 1 = 0
Какие дифференциальные уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными? a)
, b)
, c)
, d) ![image111.gif](/discipline-images/292789/image111.gif)
![image108.gif](/discipline-images/292789/image108.gif)
![image109.gif](/discipline-images/292789/image109.gif)
![image110.gif](/discipline-images/292789/image110.gif)
![image111.gif](/discipline-images/292789/image111.gif)
d
a
c
b
Какие утверждения верны? a) частное решение уравнения y(x+2) – 4y(x+1) + 4y(x) = 0, y(0) = 1, y(1) = 2 равно 2x b) частное решение уравнения y(x+2) – 4y(x+1) + 4y(x) = 0, y(0) = 1, y(1) = 2 равно x 2x c) частное решение уравнения y(x+2) – 6y(x+1) + 9y(x) = 0, y(0) = 1, y(1) = 3 равно 3x d) частное решение уравнения y(x+2) – 6y(x+1) + 9y(x) = 0, y(0) = 1, y(1) = 3 равно x3x
d
a
c
b
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и корнями их характеристических уравнений.
y² + py¢ + q = sinx
r1 = r2 = 1
y² + 2y¢ + y = 1
r1 = r2 = -1
y² - 2y¢ + y = 0
![image191.gif](/discipline-images/292789/image191.gif)
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их частными решениями
y² - 2y¢ + y = 2sinx
-x
y² - 2y¢ + y = 5x + 1
5x + 11
y² - 2y¢ + y = -x + 2
cosx
Линия уровня функции z = x2 – y2 в точке P0(1,0) имеет уравнение
2x - 2y = 1
x2 – y2 = 1
x2 – y2 = 0
x2 – y2 = const
Частное решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y¢(0) = 0, равно
(1 – x)ex
2ex
ex
2x
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения y¢ - y = 0, y(0) = 2 равно
2cosx
2
2ex
2 + sinx
Общее решение дифференциального уравнения dy – cosxdx = 0
y = cosx + C
y = tgx
y = sinx + C
y = x + C
Общее решение дифференциального уравнения dy – sinxdx = 0
y = sinx
y = tgx
y = cosx + C
y = - cosx + C
Какие утверждения верны? a) корни характеристического уравнение для разностного уравнения y(x+2) – 4y(x+1) + 4y(x) = 0 равны r1 = r2 = 2 b) корни характеристического уравнение для разностного уравнения y(x+2) + 4y(x+1) + 4y(x) = 0 равны r1 = r2 = -2 c) корни характеристического уравнение для разностного уравнения y(x+2) – 4y(x+1) + 4y(x) = 0 равны r1 = r2 = 1 d) корни характеристического уравнение для разностного уравнения y(x+2) + 4y(x+1) + 4y(x) = 0 равны r1 = r2 = 2
с
d
a
b
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их характеристическими уравнениями.
y² - 2y¢ + 5y = 1
r2 = 0
y² + 2y¢ + 5y = 0
r2 + 2r + 5 = 0
y² = sinx
r2 - 2r + 5 = 0
Градиентом функции z = f(x, y) в точке P0(x0,y0) называется
число, равное ![image057.gif](/discipline-images/292789/image057.gif)
![image057.gif](/discipline-images/292789/image057.gif)
вектор, равный ![image056.gif](/discipline-images/292789/image056.gif)
![image056.gif](/discipline-images/292789/image056.gif)
число, равное ![image058.gif](/discipline-images/292789/image058.gif)
![image058.gif](/discipline-images/292789/image058.gif)
вектор, равный ![image059.gif](/discipline-images/292789/image059.gif)
![image059.gif](/discipline-images/292789/image059.gif)
Укажите соответствие между дифференциальными уравнениями и их решениями.
![image186.gif](/discipline-images/292789/image186.gif)
![image183.gif](/discipline-images/292789/image183.gif)
![image184.gif](/discipline-images/292789/image184.gif)
![image185.gif](/discipline-images/292789/image185.gif)
![image182.gif](/discipline-images/292789/image182.gif)
![image187.gif](/discipline-images/292789/image187.gif)
Общее решение дифференциального уравнения y² + py¢ + qy = 0 (p,q – постоянные) в случае равных корней характеристического уравнения r1 = r2 = r имеет вид
C1erx
C2erx
(C1 + C2x)erx
C1erx + C2erx
Какие дифференциальные уравнения первого порядка являются уравнениями Бернулли ? a)
b)
, c)
, d) ![image129.gif](/discipline-images/292789/image129.gif)
![image127.gif](/discipline-images/292789/image127.gif)
![image124.gif](/discipline-images/292789/image124.gif)
![image128.gif](/discipline-images/292789/image128.gif)
![image129.gif](/discipline-images/292789/image129.gif)
a
b
d
c
Полный дифференциал функции z = x3 + y3 в точке P0(-1,-1) равен
3(dx + dy)
-3dx - 3dy
3dx - 3dy
dx + dy
Область определения функции
есть множество
![image004.gif](/discipline-images/292789/image004.gif)
{(x, y) : xy > 0}
{(x, y) : x > 0, y > 0}
{(x, y) : xy > 1}
{(x, y) : x < 0, y < 0}
Какие утверждения верны? a) характеристическое уравнение для y² + y = 0 имеет корни 1; -1 b) характеристическое уравнение для y² + y = 0 имеет корни i; -i c) характеристическое уравнение для y² - y = 0 имеет корни 1; -1 d) характеристическое уравнение для y² - y = 0 имеет корни i; -i
b
d
a
c
Укажите соответствие между функциями и их частными производными
![image143.gif](/discipline-images/292789/image143.gif)
0
![image144.gif](/discipline-images/292789/image144.gif)
2x
![image145.gif](/discipline-images/292789/image145.gif)
2y
Какие утверждения верны? a) общее решение дифференциального уравнения y² + y = 0 имеет вид С1cosx + С2sinx b) общее решение дифференциального уравнения y² + y = 0 имеет вид С1ex + С2 e-x c) общее решение дифференциального уравнения y² - y = 0 имеет вид С1ex + С2 e-x d) общее решение дифференциального уравнения y² - y = 0 имеет вид С1cosx + С2sinx
a
b
d
c
Частное решение дифференциального уравнения y² - 2y¢ + y = 4e2x равно
4e2x
e-2x
sin2x
e2x
Какие утверждения верны? a) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 2 имеет решение 2xex b) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 2 имеет решение ex c) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 1 имеет решение xex d) Задача Коши у² - 2у¢ + у = 0, у(0) = 0, у¢(0) = 1 имеет решение ex
a
c
d
b
Полный дифференциал функции z = x + y2 в точке P0(1,1) равен
dx + dy
dx + 2dy
2dx + dy
y2 dx + x dy
Полный дифференциал функции z = x4 – y4 в точке P0(1,1) равен
2dx + 2dy
2dx - 2dy
dx - dy
4dx - 4dy
Укажите соответствие между функциями f(x,y) и их векторами-градиентами в точке (1,0)
-x2 + y2
![image050.gif](/discipline-images/292789/image050.gif)
x2 + (y + 5)2
![image162.gif](/discipline-images/292789/image162.gif)
X2 – y2 + 5
![image161.gif](/discipline-images/292789/image161.gif)