Элементы теории функций и функциональный анализ
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:
:{
; 1}
; 1}{-6;-1}
{-1;-}
}{1;6}
Если для двух норм 
и 
на конечномерном пространстве 
существуют такие 
и 
, что выполнимо двойное неравенство 
, то эти нормы называются _________ (какими?)
и на конечномерном пространстве существуют такие и , что выполнимо двойное неравенство , то эти нормы называются _________ (какими?)Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве 
определяется по формуле: (f(x),g(x)) = 
f(x)×g(x)dx.Тогда скалярное произведение элементов sinх и cosx в пространстве 
равно ___________ (укажите ответ в виде десятичной дроби)
определяется по формуле: (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx.Тогда скалярное произведение элементов sinх и cosx в пространстве равно ___________ (укажите ответ в виде десятичной дроби)__________ ( какие?) две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны (заполните пробел одним словом)
Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при 
< 
, где В = 
. Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l
cost×sins×x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при < , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - lcost×sins×x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
Уравнение х(t) -
cos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением Фредгольма _______ (какого?) рода (укажите порядок словом)
cos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением Фредгольма _______ (какого?) рода (укажите порядок словом)Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 2х и 
в пространстве L2 [0,2] равно
f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 2х и в пространстве L2 [0,2] равно4е4
4е2
е4 - 1
е2 - 1
Завершите определение: совокупность всех открытых подмножеств множества называется____________ ( чем?) на множестве
называется____________ ( чем?) на множестве Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = 
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] B равна
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] B равна
Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна _______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна _______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)Норма элемента f(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле: 
= 
. Тогда норма элемента sinx в пространстве С [-
,
] равна
= . Тогда норма элемента sinx в пространстве С [-,] равна
Пусть 
- непрерывная на 
функция. Оператор 
отображает 
. Норма этого оператора равна
- непрерывная на функция. Оператор отображает . Норма этого оператора равна
Известно, что расстояние от точки 
линейного нормированного пространства до гиперплоскости 
находится по формуле 
. Если 
и 
, то 
равно
линейного нормированного пространства до гиперплоскости находится по формуле . Если и , то равноsin1
1
В пространстве 
найдите решение интегрального уравнения 
, если 
, 
, 
, 
(укажите число)
найдите решение интегрального уравнения , если , , , (укажите число)Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] B равна
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] B равна
Пусть 
евклидово, или унитарное, пространство со скалярным произведением. Известно, что оператор 
самосопряженный. Укажите возможные виды матрицы этого оператора: матрица
евклидово, или унитарное, пространство со скалярным произведением. Известно, что оператор самосопряженный. Укажите возможные виды матрицы этого оператора: матрицаэрмитова
симметрична
диагональна
треугольная
Уравнение x(t) - 
x(s)ds = et является интегральным уравнением Фредгольма _____ (какого?) рода (укажите порядок словом)
x(s)ds = et является интегральным уравнением Фредгольма _____ (какого?) рода (укажите порядок словом)Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] B равна
. Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] B равна1,5
1,9
0,5
2,5
Укажите соответствие между интегральным уравнением и его видом
х(t) -cos(t+2s)x(s)ds = cos2t
cos(t+2s)x(s)ds = cos2tуравнение Фредгольма первого рода
ln(t2+ts+s2)x(s)ds = t + 3уравнение Вольтерра первого рода
( t6+s6)x(s)ds = sintуравнение Фредгольма второго рода
Если 
, то любое нормированное пространство _________ одновременно метрическим пространством (заполните пробел для верного утверждения)
, то любое нормированное пространство _________ одновременно метрическим пространством (заполните пробел для верного утверждения)Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства х2siny < 1 является множество решений
х2siny > 1
х2siny £ 1
х2siny ³ 1
х2siny = 1
Имеем линейное нормированное пространство 
и определенный на 
функционал 
является
и определенный на функционал являетсяограниченным
непрерывным
линейным
вполне непрерывным
Какое условие на 
задано в определении сжатого отображения: сжатое отображение - отображение 
метрического пространства в себя, для которого существует , меньшее____________ (укажите ответ словом), такое, что для любых 
выполнено 
задано в определении сжатого отображения: сжатое отображение - отображение метрического пространства в себя, для которого существует , меньшее____________ (укажите ответ словом), такое, что для любых выполнено Интегральное уравнение Фредгольма x(t) - lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при< , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем
K(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при< , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) - l(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем7
6
9
8
Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) = 
; (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx ; 
= 
. Тогда косинус угла между элементами x2 и x3 в пространстве L2 [0,2] равен
; (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx ; = . Тогда косинус угла между элементами x2 и x3 в пространстве L2 [0,2] равен
Интегральное уравнение х(t) - ln(t2s - s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтерра _____________ рода (ответ – словом)
ln(t2s - s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтерра _____________ рода (ответ – словом)Норма элемента f(x) в пространстве определяется по формуле: = . Тогда норма элемента 
в пространстве 
равна ___________ (укажите целое число)
определяется по формуле: = . Тогда норма элемента в пространстве равна ___________ (укажите целое число)Рассмотрим самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве
:
для 
. Укажите варианты для области значений оператора:
:для . Укажите варианты для области значений оператора:всегда замкнута
может быть замкнутой
может быть незамкнутой
всегда открыта
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства 
при sinx равен ___ (укажите целое число)
при sinx равен ___ (укажите целое число)Рассматривается линейный самосопряженный вполне непрерывный оператор . Укажите верные утверждения:
. Укажите верные утверждения:если оператор A ненулевой , то он имеет по крайней мере одно отличное от нуля собственное значение
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны
собственное подпространство 
такого оператора конечномерно при 
такого оператора конечномерно при в пространстве существует единственный базис из собственных векторов
существует единственный базис из собственных векторовНорма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента x4 в пространстве L2 [-1,1] равна
= . Тогда норма элемента x4 в пространстве L2 [-1,1] равна3
1
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:
:{-0,5; 
}
}{ ; 0,5}
; 0,5}{2;7}
{-7;-2}
Укажите, какие условия определяют линейность оператора 
: А) его область определения 
является подпространством в ; В) для любых 
; С) для любых и любого числа 
; D) для любых 
: А) его область определения является подпространством в ; В) для любых ; С) для любых и любого числа ; D) для любых одновременно A), B) и С)
все
только A) и D)
каждое из B),С) и D)
Пусть оператор линейный. Если он вполне непрерывный, то каждое комплексное число является для него либо _________, либо _________
линейный. Если он вполне непрерывный, то каждое комплексное число является для него либо _________, либо _________собственным числом
регулярным числом
характеристическим числом
нормой
Неравенство 
превращается в неравенство треугольника при 
, равном __ (укажите целое число)
превращается в неравенство треугольника при , равном __ (укажите целое число)Найдите норму линейного ограниченного оператора 
, 
(укажите число)
, (укажите число)Укажите верные утверждения. Если 
- сжатое отображение полного метрического пространства в себя и - коэффициент сжатия, то имеет
- сжатое отображение полного метрического пространства в себя и - коэффициент сжатия, то имеетдля любых 
для любого 
последовательность 
сходится к 
последовательность сходится к справедлива оценка 
единственную неподвижную точку
Ортогональная система векторов называется полной, если ряд Фурье любого элемента 
сходится к в смысле
сходится к в смысленормы
фундаментальной сходимости
условной сходимости
абсолютной сходимости
Норма оператора 
, действующего в 
, равна _______ (укажите число)
, действующего в , равна _______ (укажите число)Пусть 
, 
. Задача о собственных значениях 
и собственных функциях 
данного оператора равносильна решению дифференциального уравнения 
. Установите соответствия между собственными значениями и собственными функциями
, . Задача о собственных значениях и собственных функциях данного оператора равносильна решению дифференциального уравнения . Установите соответствия между собственными значениями и собственными функциями
,
,
,
Имеем линейное нормированное пространство 
и определенный на функционал 
является
и определенный на функционал являетсяограниченным
линейным
вполне непрерывным
непрерывным
Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :
:(-¥,-6) È (-6,-1) È (-1,+ ¥)
(-¥,1) È (1,6) È (6,+ ¥)
(-¥,-1) È (-1,-) È (-,+ ¥)
) È (-,+ ¥)(-¥,) È (,1) È (1,+ ¥)
) È (,1) È (1,+ ¥)Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = 
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:
(3х2 - 1). Разложение элемента f(x) = -6x2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:f(x) = -7P0 + P1 - 4P2
f(x) = -6P0 + P1 - 5P2
f(x) = -5P0 + P1 - 6P2
f(x) = -6P0 + 2P1 - 5P2
Множество всех собственных векторов данного оператора, отвечающих данному собственному значению, являются линейным подпространством, называемым _________ (каким?) подпространством
, являются линейным подпространством, называемым _________ (каким?) подпространствомПусть и 
соответственно замкнутое и открытое множество топологического пространства . Тогда (укажите верные утверждения): A) 
замкнуто , B) 
открыто
и соответственно замкнутое и открытое множество топологического пространства . Тогда (укажите верные утверждения): A) замкнуто , B) открытотолько А)
только В)
оба верны
оба неверны
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен
0
-5
-4
-2
Ортогональная система состоит из векторов
линейно-независимых
векторное произведение любых двух векторов равно нулю
скалярное произведение любых двух векторов равно нулю
имеющих равные модули
Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства 
при sin2x равен ____ (укажите целое число)
при sin2x равен ____ (укажите целое число)Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = 
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx - 1 отрезка [-;] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия
êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx - 1 отрезка [-;] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия-
Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = 
:
:{-
; 0,1}
; 0,1}{-0,1; }
}{-10;3}
{-3;10}